2021年10月
【代数几何】利用二次型研究二次曲线
摘 要 本文旨在使用纯代数的方法, 利用二次型研究二次曲线的相关理论. 本文首先给出了用二次型表示的二次曲线方程, 然后研究在转轴、移轴变换下二次型矩阵将会如何变化. 随后先使用转轴消去交叉二次项, 再尝试使用移轴消去一次项, 并根据一次项消去的成功与否及消去后二次型矩阵的形态, 将二次型矩阵分为 9 种类型, 对应二次曲线的 9 种形态. 最后利用矩阵理论, 给出了二次曲线的 3 个不变量和 1 个半不变量, 并使用这些量对前文所述的分类方法作了重述.
【代数几何】转：三次曲线的 Newton 分类法
一般的三次曲线:
$$Ax^3+Bx^2y+Cxy^2+Dy^3+Ex^2+Fxy+Gy^2+Hx+Iy+J=0$$
双曲双曲线 (I): $xy^2+Ey=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
残缺双曲线 (II): $xy^2+Ey=-Ax^3+Bx^2+Cx+D$
抛物双曲线 (III): $xy^2+Ey=Bx^2+Cx+D$
双曲化圆锥曲线 (IV): $xy^2+Ey=Cx+D$
三叉戟曲线 (V): $xy=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
发散抛物线 (VI): $y^2=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
立方抛物线 (VII): $y=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
**未完成**【数理逻辑】ZFC 集合论公理系统
1. 外延公理 (Axiom of Extensionality)
两个集合相等, 则他们有相同的元素.
$$\forall A\forall B:(\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Longrightarrow A=B$$
若未预先定义等号, 则可定义
$$A=B:=(\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B)\land (\forall \mathcal S:A\in \mathcal S\Leftrightarrow B\in \mathcal S)$$
此时外延公理等价于
$$\forall A\forall B:(\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Longrightarrow (\forall \mathcal S:A\in \mathcal S\Leftrightarrow B\in \mathcal S)$$
即若两个集合元素完全相同, 则它们属于同一个集合.