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1 音高与频率

1.1 音高与十二平均律

  本文首先暂时抛弃复杂的关于声波函数具体形态的讨论, 先假定以下研究的声音都只是一个简单的正弦波.

定义 1.1.1(非正式)一个音 (note) 就是一个以固定频率 $\omega$ 震动的声波. 该频率 $\omega$ 称为该音的频率. 一个音对应一个频率.

定义 1.1.2 定义 $\gamma :=\sqrt[12]{2}$. 若两个音 $\mathrm X',\ \mathrm X''$ 的频率满足关系 $\mathrm X''=\gamma \mathrm X'$, 则称 $\mathrm X''$ 比 $\mathrm X'$ 高半音.

注记 1.1.3 严格意义上, 上式应该首先定义 $\mathrm X',\ \mathrm X''$ 的频率分别为 $\omega',\ \omega''$, 然后再指出关系 $\omega''=\gamma \omega'$. 但是由于音与频率存在严格对应性, 故作这种区分是不必要的. 下文中的讨论将把音与其频率混同, 直接将音的名称代替其频率代入式中进行计算。

1.2 音程及其和谐度

  人耳在听辨两个不同频率的声音时, 假若两音频率成倍数关系, 则它们会被认为是完全协和的; 而若两音频率成简单分数关系, 则会被认为是一般协和的.

  十二平均律之所以是“12”个音, 其来源是一个数学巧合.

1.3 泛音列

1. 外延公理 (Axiom of Extensionality)

两个集合相等, 则他们有相同的元素.
$$\forall A\forall B:(\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Longrightarrow A=B$$
若未预先定义等号, 则可定义
$$A=B:=(\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B)\land (\forall \mathcal S:A\in \mathcal S\Leftrightarrow B\in \mathcal S)$$
此时外延公理等价于
$$\forall A\forall B:(\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Longrightarrow (\forall \mathcal S:A\in \mathcal S\Leftrightarrow B\in \mathcal S)$$
即若两个集合元素完全相同, 则它们属于同一个集合.







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