【数学分析】流形上的积分和外微分形式
摘 要 本文首先介绍了低维空间内的两型曲线积分和曲面积分, 并解释了它们之间的关系. 然后介绍了场论三度, 再以其为工具介绍了低维流形积分的三大公式, 同时简述了场论三度的二阶运算. 随后引出外微分形式, 阐释了场论三度和三大公式的内在联系. 最后将外微分理论应用性地推广向四维, 列出了四维空间中联系各阶流形的四个度和三条公式.
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【代数几何】利用二次型研究二次曲线
摘 要 本文旨在使用纯代数的方法, 利用二次型研究二次曲线的相关理论. 本文首先给出了用二次型表示的二次曲线方程, 然后研究在转轴、移轴变换下二次型矩阵将会如何变化. 随后先使用转轴消去交叉二次项, 再尝试使用移轴消去一次项, 并根据一次项消去的成功与否及消去后二次型矩阵的形态, 将二次型矩阵分为 9 种类型, 对应二次曲线的 9 种形态. 最后利用矩阵理论, 给出了二次曲线的 3 个不变量和 1 个半不变量, 并使用这些量对前文所述的分类方法作了重述.