# **未完成**【乐理】基础乐理的数学公理化

首先定义 $\bar{\mathrm A}:=440,\ \varphi=\sqrt[12]{2}$. 本文主要研究的是如下以数字为元素的集合:
$$\mathcal A:=\{\varphi ^\alpha\bar{\mathrm A}=2^{\frac{\alpha}{12}}\times 440\mid \alpha \in \mathbb Z\}$$

### 1.1 音名

$\mathcal A$ 中的元素称为音, 其各有名称. 首先定义 $\bar{\mathrm C}=\varphi ^{-9}\bar{\mathrm A}=261.63$, 然后考虑形如 $\varphi ^n\bar{\mathrm C}$ 元素的名称

 $n$ $12k$ $12k+2$ $12k+4$ $12k+5$ $12k+7$ $12k+9$ $12k+11$ 名称 $\mathrm C$ $\mathrm D$ $\mathrm E$ $\mathrm F$ $\mathrm G$ $\mathrm A$ $\mathrm B$

 $k$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ 科学标记法 $\mathrm X1$ $\mathrm X2$ $\mathrm X3$ $\mathrm X4$ $\mathrm X5$ $\mathrm X6$ $\mathrm X7$ Helmholtz 音高标记法 $\mathrm X_1$ $\mathrm X$ $\mathrm x$ $\mathrm x^1$ $\mathrm x^2$ $\mathrm x^3$ $\mathrm x^4$

### 1.2 音程

定义两个音的距离 $\mathrm X-\mathrm Y:=\log _\varphi\mathrm X/\mathrm Y\in \mathbb Z$ 称作音程, 并且它们各有名称. 在不考虑正负号的情况下, 定义音程的名称

 $\mathrm X-\mathrm Y$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$ 符号 $\mathrm P1$ $\mathrm m2$ $\mathrm M2$ $\mathrm m3$ $\mathrm M3$ $\mathrm P4$ $\mathrm{TT}$ $\mathrm P5$ $\mathrm m6$ $\mathrm M6$ $\mathrm m7$ $\mathrm M7$ $\mathrm P8$ 音程 纯一度 小二度 大二度 小三度 大三度 纯四度 三全音 纯五度 小六度 大六度 小七度 大七度 纯八度