**未完成**【乐理】基础乐理的数学公理化
摘 要 （本文章尚未完成）
首先定义 $\bar{\mathrm A}:=440,\ \varphi=\sqrt[12]{2}$. 本文主要研究的是如下以数字为元素的集合:
$$\mathcal A:=\{\varphi ^\alpha\bar{\mathrm A}=2^{\frac{\alpha}{12}}\times 440\mid \alpha \in \mathbb Z\}$$
1.1 音名
$\mathcal A$ 中的元素称为音, 其各有名称. 首先定义 $\bar{\mathrm C}=\varphi ^{-9}\bar{\mathrm A}=261.63$, 然后考虑形如 $\varphi ^n\bar{\mathrm C}$ 元素的名称
| $n$ | $12k$ | $12k+2$ | $12k+4$ | $12k+5$ | $12k+7$ | $12k+9$ | $12k+11$ |
| 名称 | $\mathrm C$ | $\mathrm D$ | $\mathrm E$ | $\mathrm F$ | $\mathrm G$ | $\mathrm A$ | $\mathrm B$ |
字母的具体形态和附标由 $k$ 的取值而定.
| $k$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| 科学标记法 | $\mathrm X1$ | $\mathrm X2$ | $\mathrm X3$ | $\mathrm X4$ | $\mathrm X5$ | $\mathrm X6$ | $\mathrm X7$ |
| Helmholtz 音高标记法 | $\mathrm X_1$ | $\mathrm X$ | $\mathrm x$ | $\mathrm x^1$ | $\mathrm x^2$ | $\mathrm x^3$ | $\mathrm x^4$ |
例如 $\varphi ^{12\times 1+9}\bar{\mathrm C}$ 应当记作 $\mathrm A5$ 或 $\mathrm a^2$.
1.2 音程
定义两个音的距离 $\mathrm X-\mathrm Y:=\log _\varphi\mathrm X/\mathrm Y\in \mathbb Z$ 称作音程, 并且它们各有名称. 在不考虑正负号的情况下, 定义音程的名称
| $\mathrm X-\mathrm Y$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ |
| 符号 | $\mathrm P1$ | $\mathrm m2$ | $\mathrm M2$ | $\mathrm m3$ | $\mathrm M3$ | $\mathrm P4$ | $\mathrm{TT}$ | $\mathrm P5$ | $\mathrm m6$ | $\mathrm M6$ | $\mathrm m7$ | $\mathrm M7$ | $\mathrm P8$ |
| 音程 | 纯一度 | 小二度 | 大二度 | 小三度 | 大三度 | 纯四度 | 三全音 | 纯五度 | 小六度 | 大六度 | 小七度 | 大七度 | 纯八度 |
例如 $\mathrm G-\mathrm C=\mathrm P5$, 即 $\mathrm G$ 比 $\mathrm C$ 高纯五度.