**未完成**【数理逻辑】ZFC 集合论公理系统

1. 外延公理 (Axiom of Extensionality)

两个集合相等, 则他们有相同的元素.
$$\forall A\forall B:(\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Longrightarrow A=B$$
若未预先定义等号, 则可定义
$$A=B:=(\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B)\land (\forall \mathcal S:A\in \mathcal S\Leftrightarrow B\in \mathcal S)$$
此时外延公理等价于
$$\forall A\forall B:(\forall x:x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Longrightarrow (\forall \mathcal S:A\in \mathcal S\Leftrightarrow B\in \mathcal S)$$
即若两个集合元素完全相同, 则它们属于同一个集合.

2. 正规公理 (Axiom of Regularity)

每个非空集合 $\mathcal S$ 都有一个成员 $A(\in \mathcal S)$ 使得 $\mathcal S\cap A=\varnothing $.
$$\forall \mathcal S:\exists a(a\in \mathcal S)\Longrightarrow \exists A(A\in \mathcal S\land \lnot \exists x(x\in A \land x \in \mathcal S))$$