1. 矩阵的等价类

初等变换

名称	记号	对应的矩阵
第一型交换	$$r_i\leftrightarrow r_j$$ $$c_i\leftrightarrow c_j$$	$$F_{ij}=\begin{pmatrix}1 & & & & & & & & \\& \ddots & & & & & & & \\& & 0 & & & & 1 & & \\& & & \ddots & & & & & \\& & & & 1 & & & & \\& & & & & \ddots & & & \\& & 1 & & & & 0 & & \\& & & & & & & \ddots & \\& & & & & & & & 1\end{pmatrix}$$
第二型倍加	$$r_i+\lambda r_j$$ $$c_j+\lambda c_i$$	$$F_{ij}(\lambda)=\begin{pmatrix}1 & & & & & & \\& \ddots & & & & & \\& & 1 & \cdots & \lambda & & \\& & & \ddots & \vdots & & \\& & & & 1 & & \\& & & & & \ddots & \\& & & & & & 1\end{pmatrix}$$
第三型倍乘	$$\lambda r_i$$ $$\lambda c_i$$	$$F_i(\lambda)=\begin{pmatrix}1 & & & & & & \\& \ddots & & & & & \\& & 1 & & & & \\& & & \lambda & & & \\& & & & 1 & & \\& & & & & \ddots & \\& & & & & & 1\end{pmatrix}$$

阶梯形、最简形、标准形

名称	对应的矩阵	说明
行阶梯形	$$\left( \begin{array}{ccccccccccccc}a_{11} & \cdots & * & * & \cdots & * & * & \cdots & * & \cdots & * & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & a_{2k} & \cdots & * & * & \cdots & * & \cdots & * & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{3l} & \cdots & * & \cdots & * & \cdots & * \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & a_{rs} & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\end{array} \right)$$	下行的首个非零元列标必大于本行的
行最简形	$$\left( \begin{array}{ccccccccccccc}1 & \cdots & * & 0 & \cdots & * & 0 & \cdots & * & \cdots & 0 & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & * & 0 & \cdots & * & \cdots & 0 & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & * & \cdots & 0 & \cdots & * \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\end{array} \right)$$	同上, 但每行首个非零元必为 1, 并所在列其他元必为 0
标准形	$$\begin{pmatrix}1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_r & O\\O & O\end{pmatrix}$$	仅左上角为单位阵, 其余均为 0

矩阵的等价

初等变换的流程 任意矩阵 --(一二型行初等变换)→ 行阶梯形 --(一二三型行初等变换)→ 行最简形 --(一二型列初等变换)→ 标准形. $m\times n$ 矩阵的标准形共有 $\min\{m,n\}+1$ 个, 故据此将 $\mathcal M_{m\times n}$ 化为 $\min\{m,n\}+1$ 个等价类.

注: 矩阵对应行阶梯形的非零行数就是矩阵的秩.

等价矩阵 称矩阵 $A$ 和 $B$ 是等价的, 如果它们属于同一个等价类, 即存在可逆矩阵 $P,Q$ s.t. $B=PAQ$. 此时记 $A\sim B$.

矩阵等价的充要条件 矩阵的等价类实际上是按秩分类. 所以 $A\sim B\iff \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}B$.

2. 坐标变换与基变换

坐标变换 相同基 $\{\boldsymbol e\}$ 下的映射变换通过矩阵 $A$ 描述, 其中 $A$ 的各列为 $\boldsymbol e_i$ 映射到的坐标. 该映射把任一向量 $\boldsymbol x$ 映射到 $\boldsymbol x'=A\boldsymbol x$.

基变换 同一个向量在不同基 $\{\boldsymbol e\}, \{\boldsymbol e'\}$ 下的坐标关系通过矩阵 $A$ 描述, 其中 $A$ 的各列为 $\boldsymbol e'_i$ 在基 $\{\boldsymbol e\}$ 下的坐标. 则基变换公式为 $\boldsymbol x'=A^{-1}\boldsymbol x$.

相似矩阵 称矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的, 如果它们是同一映射变换在不同基下的表达, 即存在可逆矩阵 $P$ s.t. $B=P^{-1}AP$. 此时记 $A\cong B$.

注: $A$ 和 $B$ 既然是同一个线性变换, 那么当然有相同的行列式、秩、迹和特征值. 它们称为矩阵的相似不变量.

3. 矩阵的对角化

对角化 对于矩阵 $A$, 希望找到一组基, 在这组基下 $A$ 对应的线性变换只是伸缩变换而已. 就是说找一个对角矩阵 $\Lambda$ 使得 $\Lambda \cong A$ 即 $\exists T$ s.t. $A=T^{-1}\Lambda T$.

特征多项式、特征值与特征向量

特征多项式即多项式 $|\lambda I-A|=0$, 特征值即它的根. 特征值 $\lambda _i$ 对应的特征向量是方程组 $(\lambda _i-A)\boldsymbol x=0$ 的非零解.

可对角化的条件

矩阵可对角化的充要条件是矩阵有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\{\boldsymbol x\}$, 此时 $T$ 各列为前述特征向量, $\Lambda$ 为对应的各个特征值排成的对角矩阵.

4. 分块矩阵的性质

行列式 上 (下) 三角矩阵对于行列式的理论对于分块矩阵仍然有效.

逆对于对角分块矩阵 $A=\operatorname{diag}(A_1,A_2,\cdots,A_t)$,
$$A^{-1}=\operatorname{diag}(A_1^{-1},A_2^{-1},\cdots,A_t^{-1})$$

附: 本系列参考书目

《代数学引论》А. И. 柯斯特利金, 张英伯译.
《高等代数》张禾瑞, 郝鈵新.
《高等代数》丘维声.

【代数学】高等代数要略一：矩阵

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