【代数学】高等代数要略二：行列式、线性方程组
目录
1. 行列式 (定义、三种展开)
2. 线性方程组 (核与像、零化度与秩、可解的条件、解的结构)
1. 行列式
排列 令 $\pi(\in S_n): i\mapsto \pi (i)$ 是一个 $n$ 阶排列. 设 $k$ 为 $\pi$ 的逆序对的个数, 则它的符号差 $\varepsilon_\pi =\pm 1$ 定义为 $\varepsilon_\pi = (-1)^k$.
注: 也可以将 $\pi$ 分解为一系列对换的复合 $\pi =\tau _1\tau _2\cdots \tau _k$, 选此为 $k$ 来定义 $\varepsilon_\pi$ 与前述定义是等价的.
行列式 方阵 $A=(a_{ij})_n$ 的行列式 $\mathrm{det}\; A$ (或记为 $|A|$) 定义为
$$|A|:=\sum_{\pi \in S_n}\left(\varepsilon_\pi \prod_i a_{i\pi (i)}\right)$$
行列式的展开
依行依列展开 定义余子式 $M_{ij}$ 为原矩阵去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩余矩阵的行列式, 定义代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$, 则有行列式依第 $i$ 行或依第 $j$ 列的展开公式
$$|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}\qquad \text{or}\qquad |A|=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}$$
错行错列展开 以错行展开为例, 若展开的时候, 取了第 $i$ 行的元素与第 $k(\neq i)$ 行的代数余子式相乘, 则
$$|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=0$$
依多行依多列展开 (Laplace 定理) 选定一些行 $\{i\}$ 和一些列 $\{j\}$, 它们的子式 $a_{ij}$ 定义为这些行列交点的元素构成的矩阵的行列式, 它们的余子式 $M_{ij}$ 定义为去除这些行列后剩余矩阵的行列式, 代数余子式定义为 $A_{ij}=(-1)^{\sum i+\sum j}M_{ij}$. 以依多行展开为例, 现选定 $k$ 个行 $\{i\}$, 则有
$$|A|=\sum_{|j|=k}a_{ij}A_{ij}$$
线性方程组
方程组 $\sum _j a_{ij}x_i=b_i,\forall i$ 即 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 称为一个线性方程组. 若 $\boldsymbol b=\boldsymbol 0$, 则称其为其次的, 否则为非齐次的.
核空间与像空间
核空间 矩阵 $A$ 的核空间 (或零空间, 解空间) 定义为 $\operatorname{Ker}A:=\{\boldsymbol x|A\boldsymbol x=\boldsymbol 0\}$. 矩阵的零化度定义为 $\operatorname{nullity}A:=\dim \operatorname{Ker} A$. 矩阵的零化度就是该线性变换在映射中消失了多少维. $\operatorname{Ker}A$ 的一组基可以作为原齐次线性方程组的基础解系.
像空间 矩阵 $A$ 的像空间 (或列空间) 定义为 $\operatorname{Im}A:=\{\boldsymbol y|\boldsymbol y=A\boldsymbol x,\forall x\}$. 等价于 $A$ 的列构成的向量组张成的空间. 矩阵 $A$ 的秩等价定义为 $\operatorname{rank}A:=\dim \operatorname{Im} A$. 矩阵的秩就是该线性变换在映射后还剩下多少维.
秩-零化度定理 对于矩阵 $A$, 输入的维度分成了消失的维度和剩下的维度. 即是说
$$n = \operatorname{nullity}A + \operatorname{rank}A$$
线性方程组可解的条件
齐次线性方程组解的数量 $A\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 必有零解. 它的解集为 $\operatorname{Ker}A$.
| 解的数量 | 条件 |
|---|---|
| 1 | $\operatorname{Ker}A={\boldsymbol 0}\iff \operatorname{rank}A=n\iff \operatorname{det}A\neq 0$ |
| $\infty$ | $\operatorname{Ker}A\supset {\boldsymbol 0}\iff \operatorname{rank}A<n\iff \operatorname{det}A= 0$ |
非齐次线性方程组解的数量 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b\neq \boldsymbol 0$ 当 $\boldsymbol b\in \operatorname{Im}A$ 时才有解. 它的解集为 $\operatorname{Ker}A+\boldsymbol \xi$, 其中 $\boldsymbol \xi$ 是一个特解.
| 解的数量 | 条件 |
|---|---|
| 0 | $\boldsymbol b\notin \operatorname{Im}A$ |
| 1 | $\boldsymbol b\in \operatorname{Im}A\land (\operatorname{rank}A=n\iff \operatorname{det}A\neq 0)$ |
| $\infty$ | $\boldsymbol b\in \operatorname{Im}A\land (\operatorname{rank}A<n\iff \operatorname{det}A= 0)$ |
线性方程组解的数量
| 解的数量 | 条件 |
|---|---|
| 0 | $\operatorname{rank}A\neq \operatorname{rank}\tilde A$ |
| 1 | $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\tilde A=n$ |
| $\infty$ | $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\tilde A<n$ |
解线性方程组的方法 求解齐次线性方程组时, 只要将其矩阵转化为行最简形, 然后翻译为线性方程组即可. 求解非齐次线性方程组时, 应将其增广矩阵转化为行最简形并求得一个特解, 然后计算对应的齐次线性方程组的基础解系, 最后将二者相加即可.