【代数学】高等代数要略三：二次型
目录
1. 二次型的等价类 (合同标准形规范形、合同变换)
2. 矩阵正定及其判别法
1. 二次型的等价类
合同标准形、规范形
| 名称 | 对应的矩阵 |
|---|---|
| 合同标准形 | $$\begin{pmatrix}1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_r & O\\O & O\end{pmatrix}$$ |
| 实二次型 矩阵的 规范形 | $$\begin{pmatrix}1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \cdots & 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & -1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_p & O & O\\O & I_{r-p} & O\\O & O & O\end{pmatrix}:=C_{rp}$$ |
合同变换
合同变换 若有向量 $\boldsymbol x$ ($\{\boldsymbol e\}$ 下)、二次型矩阵 $A$ ($\{\boldsymbol e'\}$ 下) 及 $\{\boldsymbol e\}$ 到 $\{\boldsymbol e'\}$ 的基变换矩阵 $P$. 令 $Q:=P^{-1}$, 则该二次型在 $\{\boldsymbol e'\}$ 下的矩阵 $B=Q^TAQ$. 该变换成为对 $A$ 的一个合同变换.
成对初等行列变换 初等行变换和初等列变换同时进行. 即 $FAF^T$. 实二次型矩阵总可以通过初等变换化为规范形, 可据此将实二次型矩阵划分为等价类.
实二次型矩阵的合同 称两个是二次型矩阵 $A,B$ 合同, 如果它们属于同一个等价类. 即存在可逆矩阵 $Q$ s.t. $B=Q^TAQ$. 记作 $A\simeq B$.
2. 矩阵正定及其判别法
| 矩阵类型 | 规范形 | 判别法 |
|---|---|---|
| 正定 | $\operatorname{diag}(1,\cdots,1)$ | 特征值全正 / 顺序主子式全正 |
| 半正定 | $\operatorname{diag}(1,\cdots,1,0,\cdots,0)$ | 特征值全非负 / 主子式全非负 |
| 负定 | $\operatorname{diag}(-1,\cdots,-1)$ | 顺序主子式奇数阶负偶数阶正 |
| 半负定 | $\operatorname{diag}(-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)$ | - |
| 不定 | $\operatorname{diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)$ | - |