【数学分析】有理函数的不定积分方法

摘 要 在实际应用的场合中, 绝大部分函数的不定积分其实是积不出的, 所以积得出的那一部分函数就显得尤为珍贵. 本文旨在介绍一类已经被完全解决了的问题: 形如 $P(x)/Q(x)$ 的有理分式函数的积分方法. 其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 为关于 $x$ 的多项式.

1 多项式除法

真分式与假分式 分子次数小于分母的有理分式称为真分式, 否则称为假分式.

假分式的分解 如同假分数可以分解为一个整数与一个真分数之和, 假分式也可以分解为一个分式与一个真分式之和. 例如
$$\frac{x^3+x+3}{x+1}=x^2-x+2+\frac{1}{x+1}$$
假分式的分解通过多项式除法完成. 多项式除法与数的除法是一样的, 仅仅是数的各数位换成了多项式的各项.

在上图所示的竖式中, 被除数位置为被除式, 左边是除式, 顶部为商式, 右下为余式. 该竖式将被除式分解为了
$$\frac{\text{被除式}}{\text{除式}}=\text{商式}+\frac{\text{余式}}{\text{除式}}$$

2 真分式的部分分式分解

部分分式 部分分式包括两类, 一类分母是一次项的幂、分子是常数, 一类分母是二次项的幂、分子是一次项. 即
$$\frac{A}{(x-a)^k}\quad \text{and}\quad \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^k}$$
其中 $k=1,2,\cdots$.

实数系内多项式的因式分解定理 实数范围内, 任意一个多项式都可以分解为若干个一次多项式 $(x-a)$ 和若干个二次不可约多项式 $(x^2+px+q),p^2-4q<0$ 的乘积的形式.

例 $x^5+x^4-2x^3-x^2-x+2=(x-1)^2(x+2)(x^2+x+1)$

注 多项式的因式分解其实是求根的过程. 由于 $n$ 次多项式必有 $n$ 个根 (可能是复根), 且复根必成对出现, 故每一个实根 $x=a$ 对应一个一次多项式 $(x-a)$, 每一对复根 $x=u\pm \mathrm iv$ 对应一个二次不可约多项式 $(x-u- \mathrm iv)(x-u+ \mathrm iv)$.

部分分式分解定理 任意一个有理分式函数都可以分解为部分分式之和的形式.

  下面介绍部分分式分解的步骤. 首先将部分分式的分母 $Q(x)$ 在实数范围内作彻底的因式分解 (即前述所提到的若干一次多项式和若干二次不可约多项式之积).

因式中的一次多项式

• 若因式中有一个 $(x-a)$, 则分解后的式子中应有一个 $\frac{A}{x-a}$, 其中 $A$ 是待定系数.
• 若因式中有一个 $(x-a)^2$, 则分解后的式子中应有一个 $\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}$, 其中 $A,B$ 是待定系数.
• 若因式中有一个 $(x-a)^3$, 则分解后的式子中应有一个 $\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{(x-a)^3}$, 其中 $A,B,C$ 是待定系数.
• 以此类推

因式中的二次不可约多项式

• 若因式中有一个 $(x^2+px+q)$, 则分解后的式子中应有一个 $\frac{Mx+N}{x+px+q}$, 其中 $M,N$ 是待定系数.
• 若因式中有一个 $(x^2+px+q)^2$, 则分解后的式子中应有一个 $\frac{Mx+N}{x+px+q}+\frac{Sx+T}{(x+px+q)^2}$, 其中 $M,N,S,T$ 是待定系数.
• 若因式中有一个 $(x^2+px+q)^3$, 则分解后的式子中应有一个 $\frac{Mx+N}{x+px+q}+\frac{Sx+T}{(x+px+q)^2}+\frac{Ux+V}{(x+px+q)^3}$, 其中 $M,N,S,T,U,V$ 是待定系数.
• 以此类推

例 因式分解的结果是 $(x-1)^2(x+2)(x^2+x+1)$, 故部分分式分解的结果应该是
$$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+2}+\frac{Dx+E}{x^2+x+1}$$
其中 $A,B,C,D,E$ 是待定系数. 从上述规则可以看出, 待定系数的数量与原多项式的次数应该是一样的.

  将上述分解式通分后与原分式对应系数比较, 即可求得各待定系数的值.

例 作部分分式分解 $\frac{1}{x^2-1}$.
$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=\frac{(A+B)x+(A-B)}{x^2-1}$$
上式第一式与最后一式对应系数相等, 列出方程并求解
$$\left\{\begin{aligned}0&=A+B\\1&=A-B\end{aligned}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{aligned}A&=1/2\\B&=-1/2\end{aligned}\right.$$
故
$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1/2}{x-1}+\frac{-1/2}{x+1}$$

例 作部分分式分解 $\frac{x^3-2x}{x^5+x^4-2x^3-x^2-x+2}$.
解
$$\begin{aligned}&\frac{x^3-2x}{x^5+x^4-2x^3-x^2-x+2}\\=&\frac{x^3-2x}{(x-1)^2(x+2)(x^2+x+1)}\\=&\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+2}+\frac{Dx+E}{x^2+x+1}\\=&\tfrac{(A+C+D)x^4+(2A+B-C+E)x^3+(3B-3D)x^2+(-A+3B-C+2D-3E)x+(-2A+2B+C+2E)}{(x-1)^2(x+2)(x^2+x+1)}\end{aligned}$$
上式第二行与第四行对应系数相等, 列出方程并求解
$$\left\{\begin{aligned}0&=A+C+D\\1&=2A+B-C+E\\0&=3B-3D\\-2&=-A+3B-C+2D-3E\\0&=-2A+2B+C+2E\end{aligned}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{aligned}A&=-1\\B&=1\\C&=0\\D&=1\\E&=2\end{aligned}\right.$$
故
$$\frac{x^3-2x}{x^5+x^4-2x^3-x^2-x+2}=\frac{-1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{x^2+x+1}$$

3 部分分式的不定积分

$\frac{1}{x-a}$ 的不定积分
$$\int \frac{\mathrm dx}{x-a}=\ln|x-a|+C$$

$\frac{1}{(x-a)^k}$ 的不定积分
$$\int \frac{\mathrm dx}{(x-a)^k}=\int \frac{\mathrm d(x-a)}{(x-a)^k}=\frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+C$$

  对于二次不可约多项式 $(x^2+px+q)$, 为运算简便, 一般先将其配方为 $(x-a)^2+r^2$ 后研究.

$\frac{x}{x^2+px+q}$ 的不定积分
$$\begin{aligned}\int \frac{x\mathrm dx}{x^2+px+q}&\overset{配方}{=}\int \frac{x\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}\\&=\int \frac{(x-a)\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}+\int \frac{a\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}\\&=\frac{1}{2}\ln\left((x-a)^2+r^2\right)+\int \frac{a\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}\end{aligned}$$

$\frac{x}{(x^2+px+q)^k}$ 的不定积分
$$\begin{aligned}\int \frac{x\mathrm dx}{(x^2+px+q)^k}&\overset{配方}{=}\int \frac{x\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}\\&=\int \frac{(x-a)\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}+\int \frac{a\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}\\&=\frac{1}{2(1-k)\left((x-a)^2+r^2\right)^{k-1}}+\int \frac{a\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}\end{aligned}$$

$\frac{1}{x^2+px+q}$ 的不定积分
$$\int \frac{\mathrm dx}{x^2+px+q}\overset{配方}{=}\int \frac{\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}=\frac{1}{r}\int \frac{\mathrm d\left(\frac{x-a}{r}\right)}{\left(\frac{x-a}{r}\right)^2+1}=\frac{1}{r}\arctan \frac{x-a}{r}+C$$

$\frac{1}{\left(x^2+px+q\right)^k}$ 的不定积分
$$\begin{aligned}I_k&=\int \frac{\mathrm dx}{\left(x^2+px+q\right)^k}\overset{配方}{=}\int \frac{\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}\overset{t:=x-a}{=}\int \frac{\mathrm dx}{\left(t^2+r^2\right)^k}\\&=\frac{1}{r^2}\int\frac{(t^2+r^2)-t^2}{(t^2+r^2)^k}=\frac{1}{r^2}I_{k-1}-\frac{1}{r^2}\int\frac{t^2\mathrm dt}{(t^2+r^2)^k}\end{aligned}$$

其中
$$\begin{aligned}\int\frac{t^2\mathrm dt}{(t^2+r^2)^k}&\overset{凑微分}{=}\frac{1}{2}\int \frac{t}{(t^2+r^2)^k}\mathrm d(t^2+r^2)=\frac{1}{2}\int t(t^2+r^2)^{-k}\mathrm d(t^2+r^2)\\&\overset{凑微分}{=}\frac{1}{2}\int t\mathrm d\frac{(t^2+r^2)^{1-k}}{1-k}=\frac{1}{2(1-k)}\int t\mathrm d\frac{1}{(t^2+r^2)^{k-1}}\\&\overset{分部积分}{=}\frac{1}{2(1-k)}\left(\frac{t}{(t^2+r^2)^{k-1}}-I_{k-1}\right)\end{aligned}$$

回代, 得
$$\begin{aligned}I_k&=\frac{1}{r^2}I_{k-1}-\frac{1}{r^2}\int\frac{t^2\mathrm dt}{(t^2+r^2)^k}\\&=\frac{1}{r^2}I_{k-1}+\frac{1}{2r^2(k-1)}\left(\frac{t}{(t^2+r^2)^{k-1}}-I_{k-1}\right)\\&=\frac{2k-3}{2r^2(k-1)}I_{k-1}+\frac{t}{2r^2(k-1)(t^2+r^2)^{k-1}}\\&\overset{回代}{=}\frac{2k-3}{2r^2(k-1)}I_{k-1}+\frac{x-a}{2r^2(k-1)((x-a)^2+r^2)^{k-1}}\end{aligned}$$
上式给出了 $I_k$ 到 $I_{k-1}$ 的递推关系. 多次运用该式, 直到归结为 $I_1$ 即可.

  至此, 有理分式函数的不定积分求解已经全部完成. 所有有理分式函数的不定积分均是初等函数.