【数学分析】三角函数有理式及某些无理根式的不定积分方法

摘 要 本文旨在介绍三角函数有理式 $R(\sin x,\cos x)$ 和 $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ 型无理根式的不定积分方法.

1 三角函数有理式的“万能代换”

  考虑万能代换 $t:=\tan \frac{x}{2},\ -\pi<t<\pi$
$$x=2\arctan t\qquad \mathrm dx=\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt$$

$$\sin x=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin ^2\frac{x}{2}+\cos ^2\frac{x}{2}}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}$$

$$\cos x=\frac{\cos ^2\frac{x}{2}-\sin ^2\frac{x}{2}}{\sin ^2\frac{x}{2}+\cos ^2\frac{x}{2}}=\frac{1-\tan ^2\frac{x}{2}}{1+\tan ^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

故
$$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt$$

例 计算不定积分$\int \frac{\mathrm dx}{\sin x(1+\cos x)}$.
解 作换元 $t:=\tan \frac{x}{2},\ \mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{1+t^2},\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$.

$$\begin{aligned}\int \frac{\mathrm dx}{\sin x(1+\cos x)}&=\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+\left(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{t^2+1}{2t}\mathrm dt=\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}\ln |t|+C\\&=\frac{1}{4}\tan ^2\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C\end{aligned}$$

2 $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ 型无理根式的 Euler 代换

  考虑 Euler 第一代换 $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt ax\pm t$. 若 $c>0$, 还可考虑 Euler 第二代换 $\sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm \sqrt c$.

例 计算不定积分$\int \frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}$.
解 作 Euler 第二变换 $\sqrt{x^2+x+1}=xt+1$,
$$t=\frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{x},\ x=\frac{1-2t}{t^2-1},\ \mathrm dx=\frac{2(t^2-t+1)}{(t^2-1)^2}\mathrm dt$$
代入, 得
$$\sqrt{x^2+x+1}=\frac{1-2t}{t^2-1}\cdot t+1=-\frac{t^2-t+1}{t^2-1}$$
代入原式, 得
$$\begin{aligned}\int \frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}&=\int \frac{t^2-1}{1-2t}\frac{t^2-1}{-(t^2-t+1)}\frac{2(t^2-t+1)}{(t^2-1)^2}\mathrm dt\\&=\int\frac{2}{2t-1}\mathrm dt=\ln |2t-1|+C\\&=\ln \left|\frac{2\sqrt{x^2+x+1}-x-2}{x}\right|+C\end{aligned}$$