**未完成**【复分析】Laurent 级数和留数定理
摘 要 本文首先给出了解析函数的概念, 并阐述了复函数在解析点处的 Taylor 展式和在不解析点处的 Laurent 展式及其计算方法, 然后给出了留数的定义与留数定理, 最后通过例题说明了使用留数定理计算实积分的方法.
1 解析函数
1.1 解析的概念
定义 1.1.1 称复函数 $f:E\to \mathbb C,\ E\subset \mathbb C$ 在点处 $z_0$ 可导或可微, 如果
$$\exists \zeta,\lim _{z\to z_0\\z\in E}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\zeta$$
定义 1.1.2 称复函数 $f$ 在区域 $D(\subset E)$ 内解析, 如果 $f$ 在 $D$ 内的每一点都可微.
定义 1.1.3 称复函数 $f$ 在点 $z_0$ 处解析, 如果 $f$ 在 $z_0$ 的某一邻域内解析.
定义 1.1.4 称点 $z_0$ 是复函数 $f$ 的一个奇点, 如果 $f$ 在 $z_0$ 处不解析.
1.2 解析的条件
定理 1.2.1 (Cauchy-Riemann 条件) 设复函数 $f=u+\mathrm iv$ 在 $D$ 内有定义, 则 $f$ 在 $z_0=x_0+\mathrm iy_0$ 处可微的充要条件为 $u,\ v$ 都可微, 且
$$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x$$
此时 $f'(z_0)=[u_x+\mathrm iv_x]_{z_0}=[v_y-\mathrm iu_y]_{z_0}$.
定理 1.2.2 复函数 $f$ 在 $D$ 内解析的充要条件是 $u_x,u_y,v_x,v_y$ 都在 $D$ 内连续且满足 Cauthy-Riemann 条件.
2 Laurent 级数
2.1 解析点(零点)处的 Taylor 展式
定理 2.1.1 (Taylor 定理) 设 $f$ 在 $z_0$ 的 $R$-开圆邻域内解析, 则在该圆内有
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\qquad\text{where}\qquad a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi \mathrm i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta -z_0)^{n+1}}\mathrm d\zeta$$
其中 $C$ 为以 $\zeta$ 为圆心, 任取半径为 $\rho(0<\rho <R)$ 的圆.
定义 2.1.2 设 $z_0$ 是 $f$ 的一个零点. 将 $f$ 在 $z_0$ 处作 Taylor 展开成幂级数的形式, 若展式的最低次项(要求系数非零)次数为 $m$, 则称 $z_0$ 是 $f$ 的一个 $m$-重零点. 1-重零点称单零点.
定理 2.1.3 设 $f$ 在 $z_0$ 的 $R$-开圆邻域内解析且不恒为零, 则 $z_0$ 为 $m$-重零点当且仅当存在解析函数 $\varphi(z)$ 使得
$$f(z)/(z-z_0)^m=\varphi(z),\ \varphi(z_0)\neq 0$$
2.2 不解析点处的 Laurent 展式
Laurent 展式是将圆环上的解析函数展开成双边幂级数即
$$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\right)\alpha_n(z-z_0)^n$$
的形式. 其中前一个求和号称作级数的解析部分, 后一个称作主要部分.
定理 2.2.1 (Laurent 定理) 设 $f$ 在以 $z_0$ 为圆心, 半径为 $r$ 至 $R$ 的圆环内解析($0\leq r<R\leq \infty$), 则在该圆环内有
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\alpha_n(z-z_0)^n\qquad\text{where}\qquad \alpha_n=\frac{1}{2\pi \mathrm i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta -z_0)^{n+1}}\mathrm d\zeta$$
其中 $C$ 为以 $\zeta$ 为圆心, 任取半径为 $\rho(r<\rho <R)$ 的圆.
现研究解析函数的孤立奇点.
定义 2.2.2 称 $z_0$ 是 $f$ 的孤立奇点, 如果 $f$ 在 $z_0$ 处不解析, 但在 $z_0$ 的某一去心邻域内解析.
定义 2.2.3
- 若 $f$ 在 $z_0$ 处 Laurent 展式的主要部分为零, 则称 $z_0$ 是可去奇点.
- 若 $f$ 在 $z_0$ 处 Laurent 展式的主要部分仅有有限项且最低次项系数为 $-m$, 则称 $z_0$ 是 $m$-重极点. 1-重极点称单极点.
- 若 $f$ 在 $z_0$ 处 Laurent 展式的主要部分有无穷多项, 则称 $z_0$ 是本性奇点.
例 2.2.4
- $\frac{\sin z}{z}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\cdots$ 以 $z=0$ 为可去奇点.
- $\frac{\sin z}{z^2}=z^{-1}-\frac{z}{3!}+\frac{z^3}{5!}-\cdots$ 以 $z=0$ 为单极点.
- $\sin \frac{1}{z}=z^{-1}-\frac{z^{-3}}{3!}+\frac{z^{-5}}{5!}-\cdots$ 以 $z=0$ 为本性奇点.
定理 2.2.5 设 $f$ 在 $z_0$ 的 $R$-去心邻域内解析, 则
- $z_0$ 为可去奇点当且仅当 $z_0$ 处存在有限极限.
- $z_0$ 为极点当且仅当 $z_0$ 处存在无限极限.
- $z_0$ 为本性奇点当且仅当 $z_0$ 处不存在有限或无限极限.
定理 2.2.6 若 $z_0$ 是 $f$ 的极点, 则 $z_0$ 是 $m$-重极点当且仅当 $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^mf(z)=\alpha _{-m}\neq 0$
推论 2.2.7 若 $z_0$ 是 $f$ 的极点, 则 $z_0$ 是 $f$ 的 $m$-重极点当且仅当 $z_0$ 是 $1/f$ 的 $m$-重零点.
3 留数
3.1 留数定理的概念
定理 3.1.1 (Cauchy 积分定理) 设 $z_0$ 是 $f$ 的解析点, 则存在 $r$ 使得 $f$ 在 $z_0$ 的 $r$-闭圆邻域内解析. 此时有 Cauchy 积分定理
$$\oint_C f(z)\mathrm dz=0$$
其中 $C$ 是以 $z_0$ 为圆心, 半径为 $r$ 的圆.
定义 3.1.2 对于孤立奇点 $z_0$, 定义 $f$ 在该点的留数
$$\mathop{\mathrm{Res}}(f,z_0):=\frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint_C f(z)\mathrm dz=\alpha_{-1}$$
它恰好等于该点 Laurent 展式的 $-1$ 次项系数.
定理 3.1.3 (留数定理) 设 $f$ 在有界闭区域 $D$ 内除有限个孤立奇点外均解析, 则
$$\frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint_C f(z)\mathrm dz=\sum_\zeta \mathop{\mathrm{Res}}(f,\zeta)$$
其中 $\zeta$ 取遍所有这些孤立奇点.
3.2 留数的计算方法
3.3 利用留数定理计算实积分
例 3.3.1 计算以下积分
$$\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dt}{a+\sin t}$$
解 作代换
$$z:=e^{\mathrm it}=\cos t+\mathrm i\sin t,\ \frac{1}{z}=e^{-\mathrm it}=\cos t-\mathrm i\sin t$$
两式相减得到
$$\sin t=\frac{1}{2\mathrm i}\left(z-\frac{1}{z}\right),\ \mathrm dt=\frac{\mathrm dz}{\mathrm iz}$$
参考文献
[1] 陈宗煊, 孙道椿, 刘名生. 复变函数[M]. 北京:科学出版社, 2010.