分类 O18.几何拓扑 下的文章

1 二次曲线的矩阵表示

  对于一个二次曲线
$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2b_1x+2b_2y+c=0$$
给出它的矩阵表示
$$\boldsymbol x^TA\boldsymbol x=(x,y,1)\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & b_1\\ a_{12} & a_{22} & b_2\\ b_1 & b_2 & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=0$$
并称矩阵 $A$ 为该二次曲线的二次型矩阵.





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一般的三次曲线:
$$Ax^3+Bx^2y+Cxy^2+Dy^3+Ex^2+Fxy+Gy^2+Hx+Iy+J=0$$
双曲双曲线 (I): $xy^2+Ey=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
残缺双曲线 (II): $xy^2+Ey=-Ax^3+Bx^2+Cx+D$
抛物双曲线 (III): $xy^2+Ey=Bx^2+Cx+D$
双曲化圆锥曲线 (IV): $xy^2+Ey=Cx+D$
三叉戟曲线 (V): $xy=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
发散抛物线 (VI): $y^2=Ax^3+Bx^2+Cx+D$
立方抛物线 (VII): $y=Ax^3+Bx^2+Cx+D$









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