摘 要 本文总结了对于正态总体的假设检验方法.

1 假设检验的理论基础

• $H_0$ 为真但被拒绝, 称为犯第一类错误(拒真), 犯第一类错误的概率 $\alpha:=P\{\boldsymbol x\in W\mid H_0\}$. $\alpha$ 在后续假设检验中又称为显著性水平, $1-\alpha$ 称为置信度.
• $H_0$ 为假但被接受, 称为犯第二类错误(存假), 犯第二类错误的概率 $\beta:=P\{\boldsymbol x\in \overline W\mid H_1\}$.

2 单正态总体均值的检验

2.1 总体方差已知时的 $u$-检验

2.1.1 双侧检验

假 设  首先作假设. 对于给定的 $\mu_0$, 检验在该假设下抽出均值为 $\bar x$ 的样本组合是否合理.
$$H_0:\mu=\mu_0\quad\text{vs}\quad H_1:\mu \neq \mu_0$$

检 验 然后做检验, 即构造拒绝域. 我们希望拒绝域以 $\mu_0$ 为对称轴, 并且根据第一类错误的定义有 $P\{\boldsymbol x\in W\mid H_0\}=\alpha$. 所以构造拒绝域
$$W=\left\{\boldsymbol x:\bar x\in \left(-\infty,\mu_0+u_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\right]\cup\left[\mu_0+u_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n},+\infty\right)\right\}$$
其中 $u_{(\cdot)}=\varPhi^{-1}(\cdot)$ 是正态分布的百分比到百分位数的函数(取左分位数). 令 $u$ 是关于样本组合 $\boldsymbol x$ 的函数, 称为该样本组合的 $u$-检验统计量. 等价地,
$$W=\left\{\boldsymbol x:u\in\left(-\infty,u_{\alpha/2}\right]\cup\left[u_{1-\alpha/2},+\infty\right)\right\},\quad u=\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$
注意到 $u_{\alpha/2}=-u_{1-\alpha/2}$, 故可以化简得
$$W=\left\{\boldsymbol x:|u|\geq u_{1-\alpha/2}\right\}$$
上面的拒绝域可以使得犯第一类错误的概率为 $\alpha$. 一旦 $\boldsymbol x$ 落入拒绝域, 就拒绝 $H_0$, 接受 $H_1$. 否则保留 $H_0$.

$p$ -值  上述假设检验过程需要分别计算 $u$ 和 $u_{1-\alpha/2}$ 的值然后进行比较, 还是太麻烦了. 现在给出一种只需要计算一个值, 然后将其与 $\alpha$ 比较的方法. 考虑严格增函数 $\varPhi$ 有性质 $\varPhi(u_x)=x$, 即得拒绝域的一种等价表述
$$W=\left\{\boldsymbol x:p\leq \alpha \right\},\quad p=2\Big(1-\varPhi(|u|)\Big)$$
上述 $p$ 称作该检验的 $p$-值或样本显著性水平.

2.1.2 左侧检验

假 设  作假设
$$H_0:\mu\leq \mu_0\ (\text{or }\mu= \mu_0)\quad\text{vs}\quad H_1:\mu > \mu_0$$

检 验  针对上述备择假设构造拒绝域.
$$W=\{\boldsymbol x:\bar x\geq \mu_0+u_{1-\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt n}\}=\{u\geq u_{1-\alpha}\}$$

$p$ -值 该拒绝域的等价表述为
$$W=\{\boldsymbol x:p\leq \alpha\},\quad p=$$