基础乐理的数学公理化

摘 要 （本文章尚未完成）

  首先定义 $\bar{\mathrm A}:=440,\ \varphi=\sqrt[12]{2}$. 本文主要研究的是如下以数字为元素的集合:

$$\mathcal A:=\{\varphi ^\alpha\bar{\mathrm A}=2^{\frac{\alpha}{12}}\times 440\mid \alpha \in \mathbb Z\}$$

1.1 音名

  $\mathcal A$ 中的元素称为音, 其各有名称. 首先定义 $\bar{\mathrm C}=\varphi ^{-9}\bar{\mathrm A}=261.63$, 然后考虑形如 $\varphi ^n\bar{\mathrm C}$ 元素的名称

$n$	$12k$	$12k+2$	$12k+4$	$12k+5$	$12k+7$	$12k+9$	$12k+11$
名称	$\mathrm C$	$\mathrm D$	$\mathrm E$	$\mathrm F$	$\mathrm G$	$\mathrm A$	$\mathrm B$

字母的具体形态和附标由 $k$ 的取值而定.

$k$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
科学标记法	$\mathrm X1$	$\mathrm X2$	$\mathrm X3$	$\mathrm X4$	$\mathrm X5$	$\mathrm X6$	$\mathrm X7$
Helmholtz 音高标记法	$\mathrm X_1$	$\mathrm X$	$\mathrm x$	$\mathrm x^1$	$\mathrm x^2$	$\mathrm x^3$	$\mathrm x^4$

例如 $\varphi ^{12\times 1+9}\bar{\mathrm C}$ 应当记作 $\mathrm A5$ 或 $\mathrm a^2$.

1.2 音程

  定义两个音的距离 $\mathrm X-\mathrm Y:=\log _\varphi\mathrm X/\mathrm Y\in \mathbb Z$ 称作音程, 并且它们各有名称. 在不考虑正负号的情况下, 定义音程的名称

$\mathrm X-\mathrm Y$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
符号	$\mathrm P1$	$\mathrm m2$	$\mathrm M2$	$\mathrm m3$	$\mathrm M3$	$\mathrm P4$	$\mathrm{TT}$	$\mathrm P5$	$\mathrm m6$	$\mathrm M6$	$\mathrm m7$	$\mathrm M7$	$\mathrm P8$
音程	纯一度	小二度	大二度	小三度	大三度	纯四度	三全音	纯五度	小六度	大六度	小七度	大七度	纯八度

例如 $\mathrm G-\mathrm C=\mathrm P5$, 即 $\mathrm G$ 比 $\mathrm C$ 高纯五度.