齐次坐标

1 齐次坐标的引入

1.1 齐次坐标的定义

  齐次坐标是解释 Euclid 空间中涉及无穷远的命题的方法之一.

  假想 $\mathbb R^2$ 在无穷远距离以外有一圈无穷远点,用极坐标可表示为 $(+\infty, \theta)$. 且互为对面的两个无穷远点是同一个点, 即 $(+\infty, \theta) = (+\infty, \theta \pm \pi)$. 这个包含无穷远点的空间可以用极坐标表示为

$$\mathbb R^2_\infty := \underbrace{\{O\}}_{(0, 0)} \cup \underbrace{(0, +\infty) \times [0, 2\pi)}_{(r, \theta)} \cup \underbrace{\{+\infty\} \times [0, \pi)}_{(+\infty, \theta)}$$

称为射影空间. 由此可以得到一些结论:

• 直线都是闭合的, 因为它的两个无穷远端是同一个无穷远点;
• 两条平行线相交于同一个无穷远点.

以下引入齐次坐标来描述射影空间中的点. 它的形式是一个三元组 $(x, y, z)$, 并且包含以下规则:

• $(x, y, 1)$ 与 Euclid 空间中直角坐标下的点 $(x, y)$ 对应;
• $(\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ 与 $(x, y, z)$ 指同一个点;
• $(x, y, 0)$ 与 Euclid 空间中直角坐标下 $(x, y)$ 方向的无穷远点对应.

此时任何一个点都可以由一族三元组 $(\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ 表示, 称为点的齐次坐标.

1.2 点与线的对偶性

  Euclid 空间中的点可以表示为 $(x/z, y/z)$ 的形式, 所以直线可以表示为

$$A\frac xz + B\frac yz + C = 0\quad \iff \quad Ax + By + Cz = 0$$

的形式. 此时直线也可以由一个三元组 $(A, B, C)$ 表示, 并且它也是齐次坐标, 因为 $(\lambda A, \lambda B, \lambda C)$ 与 $(A, B, C)$ 表示同一直线. 此时方程 $Ax + By + Cz = 0$ 有两种理解方式:

• 给定 $(A, B, C)$ 时, 所有满足方程的点 $(x, y, z)$ 分布在一条直线上;
• 给定 $(x, y, z)$ 时, 所有满足方程的直线 $(A, B, C)$ 是一个共点直线系.

可以发现射影平面中点和直线的地位有对称的关系. 实际上, 射影平面中有以下的对偶原理:

对偶原理 对于一个关于 $n$ 个点 $\mathcal P = \{(x_i, y_i, z_i)\}_{i=1}^n$ 和 $n$ 条直线 $\mathcal L = \{(A_i, B_i, C_i)\}_{i=1}^n$ 的命题 $\varphi(\mathcal P, \mathcal L)$, 它的对偶命题是 $\varphi(\mathcal L, \mathcal P)$, 并且它们的真假性相同.

2 齐次坐标下的圆锥曲线

参考文献

[1] 知乎: 王锐腾-return. 【射影几何】第一谈——再看点线的对称性. https://zhuanlan.zhihu.com/p/92504952.

[2] 哔哩哔哩: 泰勒猫爱丽丝. 【圆锥曲线】"齐次化"到底是在干啥？从齐次坐标到射影变换. https://www.bilibili.com/video/BV1sy421h7aF.