《应用随机过程》笔记
2 随机过程
2.3 随机过程的基本类型
2.3.1 平稳过程
严平稳过程 对于随机过程 X={Xt}t∈T, 若 ∀t1,t2,⋯,tn,h s.t. {t1,t2,⋯,tn}∪{t1+h,t2+h,⋯,tn+h}⊆T, 都有
(Xt1,Xt2,⋯,Xtn)T=(Xt1+h,Xt2+h,⋯,Xtn+h)T
即有限维分布关于时间平移不变. 则称 X 是严平稳的.
(宽)平稳过程 对于随机过程 X={Xt}t∈T, 若一阶矩为常数, 二阶矩存在, 且 ∀t1,t2,h s.t. {t1,t2,t1+h,t2+h}⊆T, 都有
γ(t1,t2)=γ(t1+h,t2+h)
(该条件等价于协方差函数 γ(t,t+h) 与 t 无关), 即协方差函数关于时间平移不变, 则称 X 是宽平稳的.
2.3.2 独立增量过程
独立增量过程 对于随机过程 X={Xt}t∈T, 若 ∀t1,t2,⋯,tn∈T 从小到大排列, 随机变量 {Xtk+1−Xtk}k=1n−1 相互独立, 则称 X 是独立增量的.
平稳增量过程 对于随机过程 X={Xt}t∈T, 若 ∀t1,t2∈T (t1<t2),∀h, 随机变量 Xt1+h−Xt1=Xt2+h−Xt2, 则称 X 是平稳增量的.
平稳独立增量过程 兼有独立增量和平稳增量. 平稳独立增量过程的均值函数一定是时间 t 的线性函数.
3 Poisson 过程
3.1 Poisson 过程
计数过程 随机过程 N={Nt}t∈N 称为计数过程, 若 Nt 代表从 0 到 t 时间内事件 A 发生的次数.
Poisson 过程 计数过程 N={Nt}t∈N 称为强度为 λ 的 Poisson 过程, 若
- N0=0
- N 是独立增量过程
- ∀t∈N,h∈N+, Nt+h−Nt∼P(λt)
λ 可认为是事件 A 在单位时间内的发生次数.
3.2 与 Poisson 过程相关的分布
时间分割足够细时, Poisson 过程的一条样本路径可以看作每次阶跃 1 的阶梯函数, 即
⎩⎨⎧N0=N1=⋯=NT1−1=0,NT1=NT1+1=⋯=NT2−1=1,NT2=NT2+1=⋯=NT3−1=2
记 Tk 为 A 发生第 k 次的时刻, Xk=Tk−Tk−1 表示 A 第 k 次发生与前一次发生的间隔, 则
Tk∼Γ(k,λ),Xk∼Exp(λ)
已知 Nt=n 的条件下, 不考虑排序, T1,T2,⋯Tn∼U(0,t).
3.3 Poisson 过程的推广
3.3.1 非齐次 Poisson 过程
计数过程 N={Nt}t∈N 称为强度函数为 λ(t) 的非齐次 Poisson 过程, 若
- N0=0
- N 是独立增量过程