一元三次方程求解的 Cardano 公式

摘 要 本文介绍了一元三次方程求解的 Cardano 公式的推导方法, 即先消除二次项, 再使用代换降幂. 并指出 Cardano 公式在三次方程的解全为实数的情况下具有局限性.

  Cardano 公式由意大利数学家 Tartaglia 于 1541 年发现.

1 二次项的消除

  对于一般的三元一次方程 $a{x'}^3+b{x'}^2+cx'+d=0\ (a\neq 0)$, 先作代换 $x=x'-b/3a$, 再将最高次项系数化为 1, 得到等价方程

$$x^3+px+q=0,\quad p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},\quad q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$$

然后设有一组 $u,v$ 满足

$$u+v=x_{1,2,3},\quad uv=-p/3$$

我们指出这样的 $u,v$ 总是存在的 (但可能为复值), 并且它们总是关于 $t$ 的二次方程 $t^2-x_{1,2,3}t-p/3=0$ 的三组解.

2 $u,v$ 的显式解

  上述方程中一次项系数含有未知数 $x$, 现在通过变换尝试将其消去. 将 $x=u+v$ 回代, 整理得到

$$(u^3+v^3)+(3uv+p)(u+v)+q=0$$

注意到 $3uv+p=0$, 所以 $u^3+v^3=-q$. 再考虑 $uv=-p/3\Longrightarrow u^3v^3=-p^3/27$ (注意此过程会产生增根), 所以 $u^3,v^3$ 是关于 $t$ 的二次方程

$$t^2+qz-\frac{p^3}{27}=0$$

的两个解, 而这个方程的系数是完全已知的. 使用二次方程的求根公式求解得

$$u^3=t_1=-\frac{q}{2}+\sqrt \Delta,\quad v^3=t_2=-\frac{q}{2}-\sqrt \Delta,\quad \Delta=\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}$$

令 $u=\sqrt[3]{t_1},\ v=\sqrt[3]{t_2}$ 所以

$$u_{1,2,3}=u,\ u\omega,\ u\omega^2,\quad v_{1,2,3}=v,\ v\omega,\ v\omega^2$$

其中 $\omega=\mathop{\mathrm{cis}}60^\circ=\exp 2\pi \mathrm i/3=-1/2+\sqrt 3\mathrm i/2$ 是三次单位根.

  前述方程一共产生了 9 组解, 我们只取能满足 $uv=-p/3$ 的三组即可. 它们是

$$x_1=u_1+v_1=u+v,\quad x_2=u_2+v_3=u\omega+v\omega^2,\quad x_3=u_3+v_2=u\omega^2+v\omega$$

这样就得到了一元三次方程求解的 Cardano 公式

$$x=u+v,u\omega+v\omega^2,u\omega^2+v\omega,\quad u,v=-\frac{q}{2}\pm \sqrt \Delta,\quad \Delta=\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}$$

3 根的重数和 Cardano 公式的局限性

  我们指出:

• 当 $\Delta<0$ 时, 方程有三个两两不同的实根, 称为不可约情形;
• 当 $\Delta=0$ 时, 方程有三个实根, 其中一个至少是 2-重根;
• 当 $\Delta>0$ 时, 方程有一个实根和一对共轭复根.

  在不可约情形下, Cardano 公式总会给出嵌套根号的解. 例如对于方程

$$x^3-15x-4=0$$

该方程有三个实根 $x_1=4,\ x_{2,3}=-2\pm \sqrt{3}$, 但是 Cardano 公式仅能给出例如以下形式的解:

$$x_1=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$

虽然该式结果确为 4, 但在引入虚数前, 该根式无法进一步化简. 这是 Cardano 公式的局限性.