《应用时间序列分析》笔记（第四部分：条件异方差模型）

7 条件异方差模型

7.3 方差齐性变换

  有时数据不满足方差齐性. 若我们已知方差与均值间有某种函数关系

$$\sigma _t^2 = h(\mu _t)$$

其中 $h(\cdot)$ 是已知函数. 我们指出, 在转换函数 $g(x) := \int \mathrm dx/\sqrt{h(x)}$ 下, 转换后的变量满足方差齐性. 考虑 $1$ 阶 Taylor 展开

$$\mathrm Dg(X_t) = \mathrm D\Big(g(\mu _t) + (X_t - \mu _t) g'(\mu _t)\Big) = g'(\mu _t)^2 \mathrm DX_t \equiv 1$$

  最简单的假定为 $\sigma _t ^2 = \mu _t ^2$ 即 $h(x) = x^2$. 此时转换函数为 $g(x) = \ln x$.

7.4 ARCH 模型

集群效应 (volatility cluster) 即残差序列在大部分时段小幅波动, 但在某些时段出现持续大幅波动. 它是经济和金融领域常见的现象.

自回归条件异方差模型 (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, ARCH) $\mathrm{ARCH}(q)$ 模型考虑一个具有异方差性的零均值序列, 并且残差平方序列 $\{\varepsilon _t^2\}$ 满足自回归模型, 即

$$\mathrm E\varepsilon _t = 0, \quad \mathrm D\varepsilon _t = \sigma ^2_t := \lambda _0 + \lambda _1 \varepsilon _{t-1}^2 + \cdots + \lambda _q \varepsilon _{t-q}^2$$

$\mathrm{ARCH}(q)$ 模型就可以写成

$$\left\{ \begin{aligned} & \varepsilon _t = \sigma _t z_t, \qquad z_t \sim \mathrm{WN}(0, 1)\\ & \sigma _t^2 = \lambda _0 + \lambda _1 \varepsilon _{t-1}^2 + \cdots + \lambda _q \varepsilon _{t-q}^2 \end{aligned} \right.$$

它的条件是

$$\lambda _i \geq 0, \qquad \lambda _1 + \cdots + \lambda _q < 1$$

第一个条件保证了所有方差非负, 第二个条件保证了序列的方差存在 $\mathrm DX_t \leq \infty$. 对 $\mathrm{ARCH}(q)$ 模型做参数估计时必须满足这两个约束条件.

  它等价于

$$\varepsilon _t^2 = \lambda _0 + \lambda _1 \varepsilon _{t-1}^2 + \cdots + \lambda _q \varepsilon _{t-q}^2 + \eta _t$$

7.5 GARCH 模型