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线性代数要略一：矩阵

目录​

1. 矩阵的等价类 (初等变换、阶梯形最简形标准形、等价矩阵)

2. 坐标变换与基变换 (相似矩阵)

3. 矩阵的对角化 (特征值特征向量、可对角化的条件)

4. 分块矩阵的性质

附: 本系列参考书目

1. 矩阵的等价类​

初等变换​

名称记号对应的矩阵
第一型
交换		ri↔rjr_i\leftrightarrow r_j ci↔cjc_i\leftrightarrow c_jFij=(1⋱01⋱1⋱10⋱1)F_{ij}=\begin{pmatrix}1 & & & & & & & & \\& \ddots & & & & & & & \\& & 0 & & & & 1 & & \\& & & \ddots & & & & & \\& & & & 1 & & & & \\& & & & & \ddots & & & \\& & 1 & & & & 0 & & \\& & & & & & & \ddots & \\& & & & & & & & 1\end{pmatrix}
第二型
倍加		ri+λrjr_i+\lambda r_j cj+λcic_j+\lambda c_iFij(λ)=(1⋱1⋯λ⋱⋮1⋱1)F_{ij}(\lambda)=\begin{pmatrix}1 & & & & & & \\& \ddots & & & & & \\& & 1 & \cdots & \lambda & & \\& & & \ddots & \vdots & & \\& & & & 1 & & \\& & & & & \ddots & \\& & & & & & 1\end{pmatrix}
第三型
倍乘		λri\lambda r_i λci\lambda c_iFi(λ)=(1⋱1λ1⋱1)F_i(\lambda)=\begin{pmatrix}1 & & & & & & \\& \ddots & & & & & \\& & 1 & & & & \\& & & \lambda & & & \\& & & & 1 & & \\& & & & & \ddots & \\& & & & & & 1\end{pmatrix}

阶梯形、最简形、标准形​

名称对应的矩阵说明
行阶梯形(a11⋯∗∗⋯∗∗⋯∗⋯∗⋯∗0⋯0a2k⋯∗∗⋯∗⋯∗⋯∗0⋯00⋯0a3l⋯∗⋯∗⋯∗⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮0⋯00⋯00⋯0⋯ars⋯∗0⋯00⋯00⋯0⋯0⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮0⋯00⋯00⋯0⋯0⋯0)\left( \begin{array}{ccccccccccccc}a_{11} & \cdots & * & * & \cdots & * & * & \cdots & * & \cdots & * & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & a_{2k} & \cdots & * & * & \cdots & * & \cdots & * & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{3l} & \cdots & * & \cdots & * & \cdots & * \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & a_{rs} & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\end{array} \right)下行的首个非零元列标必大于本行的
行最简形(1⋯∗0⋯∗0⋯∗⋯0⋯∗0⋯01⋯∗0⋯∗⋯0⋯∗0⋯00⋯01⋯∗⋯0⋯∗⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮0⋯00⋯00⋯0⋯1⋯∗0⋯00⋯00⋯0⋯0⋯0⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮0⋯00⋯00⋯0⋯0⋯0)\left( \begin{array}{ccccccccccccc}1 & \cdots & * & 0 & \cdots & * & 0 & \cdots & * & \cdots & 0 & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & * & 0 & \cdots & * & \cdots & 0 & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & \cdots & * & \cdots & 0 & \cdots & * \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & * \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\end{array} \right)同上, 但每行首个非零元必为 1, 并所在列其他元必为 0
标准形(1⋯00⋯0⋮⋱⋮⋮⋮0⋯10⋯00⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮0⋯00⋯0)=(IrOOO)\begin{pmatrix}1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_r & O\\O & O\end{pmatrix}仅左上角为单位阵, 其余均为 0

矩阵的等价​

初等变换的流程  任意矩阵 --(一二型行初等变换)→ 行阶梯形 --(一二三型行初等变换)→ 行最简形 --(一二型列初等变换)→ 标准形. m×nm\times n 矩阵的标准形共有 min⁡{m,n}+1\min\{m,n\}+1 个, 故据此将 Mm×n\mathcal M_{m\times n} 化为 min⁡{m,n}+1\min\{m,n\}+1 个等价类.

注: 矩阵对应行阶梯形的非零行数就是矩阵的秩.

等价矩阵  称矩阵 AA 和 BB 是等价的, 如果它们属于同一个等价类, 即存在可逆矩阵 P,QP,Q s.t. B=PAQB=PAQ. 此时记 A∼BA\sim B.

矩阵等价的充要条件  矩阵的等价类实际上是按秩分类. 所以 A∼B  ⟺  rank⁡A=rank⁡BA\sim B\iff \operatorname{rank}A = \operatorname{rank}B.

2. 坐标变换与基变换​

坐标变换  相同基 {e}\{\boldsymbol e\} 下的映射变换通过矩阵 AA 描述, 其中 AA 的各列为 ei\boldsymbol e_i 映射到的坐标. 该映射把任一向量 x\boldsymbol x 映射到 x′=Ax\boldsymbol x'=A\boldsymbol x.

基变换  同一个向量在不同基 {e},{e′}\{\boldsymbol e\}, \{\boldsymbol e'\} 下的坐标关系通过矩阵 AA 描述, 其中 AA 的各列为 ei′\boldsymbol e'_i 在基 {e}\{\boldsymbol e\} 下的坐标. 则基变换公式为 x′=A−1x\boldsymbol x'=A^{-1}\boldsymbol x.

相似矩阵  称矩阵 AA 和 BB 是相似的, 如果它们是同一映射变换在不同基下的表达, 即存在可逆矩阵 PP s.t. B=P−1APB=P^{-1}AP. 此时记 A≅BA\cong B.

注: AA 和 BB 既然是同一个线性变换, 那么当然有相同的行列式、秩、迹和特征值. 它们称为矩阵的相似不变量.

3. 矩阵的对角化​

对角化  对于矩阵 AA, 希望找到一组基, 在这组基下 AA 对应的线性变换只是伸缩变换而已. 就是说找一个对角矩阵 Λ\Lambda 使得 Λ≅A\Lambda \cong A 即 ∃T\exists T s.t. A=T−1ΛTA=T^{-1}\Lambda T.

特征多项式、特征值与特征向量​

特征多项式即多项式 ∣λI−A∣=0|\lambda I-A|=0, 特征值即它的根. 特征值 λi\lambda _i 对应的特征向量是方程组 (λi−A)x=0(\lambda _i-A)\boldsymbol x=0 的非零解.

可对角化的条件​

矩阵可对角化的充要条件是矩阵有 nn 个线性无关的特征向量 {x}\{\boldsymbol x\}, 此时 TT 各列为前述特征向量, Λ\Lambda 为对应的各个特征值排成的对角矩阵.

4. 分块矩阵的性质​

行列式  上 (下) 三角矩阵对于行列式的理论对于分块矩阵仍然有效.

逆  对于对角分块矩阵 A=diag⁡(A1,A2,⋯ ,At)A=\operatorname{diag}(A_1,A_2,\cdots,A_t), A−1=diag⁡(A1−1,A2−1,⋯ ,At−1)A^{-1}=\operatorname{diag}(A_1^{-1},A_2^{-1},\cdots,A_t^{-1})

附: 本系列参考书目​

  • 《代数学引论》А. И. 柯斯特利金, 张英伯译.
  • 《高等代数》张禾瑞, 郝鈵新.
  • 《高等代数》丘维声.