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线性代数要略二：行列式、线性方程组

目录​

1. 行列式 (定义、三种展开)

2. 线性方程组 (核与像、零化度与秩、可解的条件、解的结构)

1. 行列式​

排列  令 π(∈Sn):i↦π(i)\pi(\in S_n): i\mapsto \pi (i) 是一个 nn 阶排列. 设 kk 为 π\pi 的逆序对的个数, 则它的符号差 επ=±1\varepsilon_\pi =\pm 1 定义为 επ=(−1)k\varepsilon_\pi = (-1)^k.

注: 也可以将 π\pi 分解为一系列对换的复合 π=τ1τ2⋯τk\pi =\tau _1\tau _2\cdots \tau _k, 选此为 kk 来定义 επ\varepsilon_\pi 与前述定义是等价的.

行列式  方阵 A=(aij)nA=(a_{ij})_n 的行列式 det  A\mathrm{det}\; A (或记为 ∣A∣|A|) 定义为

∣A∣:=∑π∈Sn(επ∏iaiπ(i))|A|:=\sum_{\pi \in S_n}\left(\varepsilon_\pi \prod_i a_{i\pi (i)}\right)

行列式的展开​

依行依列展开  定义余子式 MijM_{ij} 为原矩阵去掉第 ii 行和第 jj 列后剩余矩阵的行列式, 定义代数余子式 Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, 则有行列式依第 ii 行或依第 jj 列的展开公式

∣A∣=∑j=1naijAijor∣A∣=∑i=1naijAij|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}\qquad \text{or}\qquad |A|=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}

错行错列展开  以错行展开为例, 若展开的时候, 取了第 ii 行的元素与第 k(≠i)k(\neq i) 行的代数余子式相乘, 则

∣A∣=∑j=1naijAkj=0|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=0

依多行依多列展开 (Laplace 定理)  选定一些行 {i}\{i\} 和一些列 {j}\{j\}, 它们的子式 aija_{ij} 定义为这些行列交点的元素构成的矩阵的行列式, 它们的余子式 MijM_{ij} 定义为去除这些行列后剩余矩阵的行列式, 代数余子式定义为 Aij=(−1)∑i+∑jMijA_{ij}=(-1)^{\sum i+\sum j}M_{ij}. 以依多行展开为例, 现选定 kk 个行 {i}\{i\}, 则有

∣A∣=∑∣j∣=kaijAij|A|=\sum_{|j|=k}a_{ij}A_{ij}

2. 线性方程组​

方程组 ∑jaijxi=bi,∀i\sum _j a_{ij}x_i=b_i,\forall i 即 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol b 称为一个线性方程组. 若 b=0\boldsymbol b=\boldsymbol 0, 则称其为齐次的, 否则为非齐次的.

核空间与像空间​

核空间  矩阵 AA 的核空间 (或零空间, 解空间) 定义为 Ker⁡A:={x∣Ax=0}\operatorname{Ker}A:=\{\boldsymbol x|A\boldsymbol x=\boldsymbol 0\}. 矩阵的零化度定义为 nullity⁡A:=dim⁡Ker⁡A\operatorname{nullity}A:=\dim \operatorname{Ker} A. 矩阵的零化度就是该线性变换在映射中消失了多少维. Ker⁡A\operatorname{Ker}A 的一组基可以作为原齐次线性方程组的基础解系.

像空间  矩阵 AA 的像空间 (或列空间) 定义为 Im⁡A:={y∣y=Ax,∀x}\operatorname{Im}A:=\{\boldsymbol y|\boldsymbol y=A\boldsymbol x,\forall x\}. 等价于 AA 的列构成的向量组张成的空间. 矩阵 AA 的秩等价定义为 rank⁡A:=dim⁡Im⁡A\operatorname{rank}A:=\dim \operatorname{Im} A. 矩阵的秩就是该线性变换在映射后还剩下多少维.

秩-零化度定理  对于矩阵 AA, 输入的维度分成了消失的维度和剩下的维度. 即是说

n=nullity⁡A+rank⁡An = \operatorname{nullity}A + \operatorname{rank}A

线性方程组可解的条件​

齐次线性方程组解的数量  Ax=0A\boldsymbol x=\boldsymbol 0 必有零解. 它的解集为 Ker⁡A\operatorname{Ker}A.

解的数量条件
1Ker⁡A=0  ⟺  rank⁡A=n  ⟺  det⁡A≠0\operatorname{Ker}A={\boldsymbol 0}\iff \operatorname{rank}A=n\iff \operatorname{det}A\neq 0
∞\inftyKer⁡A⊃0  ⟺  rank⁡A<n  ⟺  det⁡A=0\operatorname{Ker}A\supset {\boldsymbol 0}\iff \operatorname{rank}A<n\iff \operatorname{det}A= 0

非齐次线性方程组解的数量  Ax=b≠0A\boldsymbol x=\boldsymbol b\neq \boldsymbol 0 当 b∈Im⁡A\boldsymbol b\in \operatorname{Im}A 时才有解. 它的解集为 Ker⁡A+ξ\operatorname{Ker}A+\boldsymbol \xi, 其中 ξ\boldsymbol \xi 是一个特解.

解的数量条件
0b∉Im⁡A\boldsymbol b\notin \operatorname{Im}A
1b∈Im⁡A∧(rank⁡A=n  ⟺  det⁡A≠0)\boldsymbol b\in \operatorname{Im}A\land (\operatorname{rank}A=n\iff \operatorname{det}A\neq 0)
∞\inftyb∈Im⁡A∧(rank⁡A<n  ⟺  det⁡A=0)\boldsymbol b\in \operatorname{Im}A\land (\operatorname{rank}A<n\iff \operatorname{det}A= 0)

线性方程组解的数量 

解的数量条件
0rank⁡A≠rank⁡A~\operatorname{rank}A\neq \operatorname{rank}\tilde A
1rank⁡A=rank⁡A~=n\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\tilde A=n
∞\inftyrank⁡A=rank⁡A~<n\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}\tilde A<n

解线性方程组的方法 求解齐次线性方程组时, 只要将其矩阵转化为行最简形, 然后翻译为线性方程组即可. 求解非齐次线性方程组时, 应将其增广矩阵转化为行最简形并求得一个特解, 然后计算对应的齐次线性方程组的基础解系, 最后将二者相加即可.