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Laurent 级数和留数定理

摘 要 本文首先给出了解析函数的概念, 并阐述了复函数在解析点处的 Taylor 展式和在不解析点处的 Laurent 展式及其计算方法, 然后给出了留数的定义与留数定理, 最后通过例题说明了使用留数定理计算实积分的方法.

1 解析函数​

1.1 解析的概念​

定义 1.1.1 称复函数 f:E→C, E⊂Cf:E\to \mathbb C,\ E\subset \mathbb C 在点处 z0z_0 可导或可微, 如果

∃ζ,lim⁡z→z0z∈Ef(z)−f(z0)z−z0=ζ\exists \zeta,\lim _{z\to z_0\\z\in E}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\zeta

定义 1.1.2 称复函数 ff 在区域 D(⊂E)D(\subset E) 内解析, 如果 ff 在 DD 内的每一点都可微.

定义 1.1.3 称复函数 ff 在点 z0z_0 处解析, 如果 ff 在 z0z_0 的某一邻域内解析.

定义 1.1.4 称点 z0z_0 是复函数 ff 的一个奇点, 如果 ff 在 z0z_0 处不解析.

1.2 解析的条件​

定理 1.2.1 (Cauchy-Riemann 条件) 设复函数 f=u+ivf=u+\mathrm iv 在 DD 内有定义, 则 ff 在 z0=x0+iy0z_0=x_0+\mathrm iy_0 处可微的充要条件为 u, vu,\ v 都可微, 且

ux=vy,uy=−vxu_x=v_y,\qquad u_y=-v_x

此时 f′(z0)=[ux+ivx]z0=[vy−iuy]z0f'(z_0)=[u_x+\mathrm iv_x]_{z_0}=[v_y-\mathrm iu_y]_{z_0}.

定理 1.2.2 复函数 ff 在 DD 内解析的充要条件是 ux,uy,vx,vyu_x,u_y,v_x,v_y 都在 DD 内连续且满足 Cauthy-Riemann 条件.

2 Laurent 级数​

2.1  解析点(零点)处的 Taylor 展式​

定理 2.1.1 (Taylor 定理) 设 ff 在 z0z_0 的 RR-开圆邻域内解析, 则在该圆内有

f(z)=∑n=0∞an(z−z0)nwherean=f(n)(z0)n!=12πi∮Cf(ζ)(ζ−z0)n+1dζf(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\qquad\text{where}\qquad a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi \mathrm i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta -z_0)^{n+1}}\mathrm d\zeta

其中 CC 为以 ζ\zeta 为圆心, 任取半径为 ρ(0<ρ<R)\rho(0<\rho <R) 的圆.

定义 2.1.2 设 z0z_0 是 ff 的一个零点. 将 ff 在 z0z_0 处作 Taylor 展开成幂级数的形式, 若展式的最低次项(要求系数非零)次数为 mm, 则称 z0z_0 是 ff 的一个 mm-重零点. 1-重零点称单零点.

定理 2.1.3 设 ff 在 z0z_0 的 RR-开圆邻域内解析且不恒为零, 则 z0z_0 为 mm-重零点当且仅当存在解析函数 φ(z)\varphi(z) 使得

f(z)/(z−z0)m=φ(z), φ(z0)≠0f(z)/(z-z_0)^m=\varphi(z),\ \varphi(z_0)\neq 0

2.2  不解析点处的 Laurent 展式​

  Laurent 展式是将圆环上的解析函数展开成双边幂级数即

(∑n=0+∞+∑n=−∞−1)αn(z−z0)n\left(\sum_{n=0}^{+\infty}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\right)\alpha_n(z-z_0)^n

的形式. 其中前一个求和号称作级数的解析部分, 后一个称作主要部分.

定理 2.2.1 (Laurent 定理) 设 ff 在以 z0z_0 为圆心, 半径为 rr 至 RR 的圆环内解析(0≤r<R≤∞0\leq r<R\leq \infty), 则在该圆环内有

f(z)=∑n=−∞+∞αn(z−z0)nwhereαn=12πi∮Cf(ζ)(ζ−z0)n+1dζf(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\alpha_n(z-z_0)^n\qquad\text{where}\qquad \alpha_n=\frac{1}{2\pi \mathrm i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta -z_0)^{n+1}}\mathrm d\zeta

其中 CC 为以 ζ\zeta 为圆心, 任取半径为 ρ(r<ρ<R)\rho(r<\rho <R) 的圆.

  现研究解析函数的孤立奇点.

定义 2.2.2 称 z0z_0 是 ff 的孤立奇点, 如果 ff 在 z0z_0 处不解析, 但在 z0z_0 的某一去心邻域内解析.

定义 2.2.3

  • 若 ff 在 z0z_0 处 Laurent 展式的主要部分为零, 则称 z0z_0 是可去奇点.
  • 若 ff 在 z0z_0 处 Laurent 展式的主要部分仅有有限项且最低次项系数为 −m-m, 则称 z0z_0 是 mm-重极点. 1-重极点称单极点.
  • 若 ff 在 z0z_0 处 Laurent 展式的主要部分有无穷多项, 则称 z0z_0 是本性奇点.

例 2.2.4

  • sin⁡zz=1−z23!+z45!−⋯\frac{\sin z}{z}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\cdots 以 z=0z=0 为可去奇点.
  • sin⁡zz2=z−1−z3!+z35!−⋯\frac{\sin z}{z^2}=z^{-1}-\frac{z}{3!}+\frac{z^3}{5!}-\cdots 以 z=0z=0 为单极点.
  • sin⁡1z=z−1−z−33!+z−55!−⋯\sin \frac{1}{z}=z^{-1}-\frac{z^{-3}}{3!}+\frac{z^{-5}}{5!}-\cdots 以 z=0z=0 为本性奇点.

定理 2.2.5 设 ff 在 z0z_0 的 RR-去心邻域内解析, 则

  • z0z_0 为可去奇点当且仅当 z0z_0 处存在有限极限.
  • z0z_0 为极点当且仅当 z0z_0 处存在无限极限.
  • z0z_0 为本性奇点当且仅当 z0z_0 处不存在有限或无限极限.

定理 2.2.6 若 z0z_0 是 ff 的极点, 则 z0z_0 是 mm-重极点当且仅当 lim⁡z→z0(z−z0)mf(z)=α−m≠0\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^mf(z)=\alpha _{-m}\neq 0

推论 2.2.7 若 z0z_0 是 ff 的极点, 则 z0z_0 是 ff 的 mm-重极点当且仅当 z0z_0 是 1/f1/f 的 mm-重零点.

3 留数​

3.1 留数定理的概念​

定理 3.1.1 (Cauchy 积分定理) 设 z0z_0 是 ff 的解析点, 则存在 rr 使得 ff 在 z0z_0 的 rr-闭圆邻域内解析. 此时有 Cauchy 积分定理

∮Cf(z)dz=0\oint_C f(z)\mathrm dz=0

其中 CC 是以 z0z_0 为圆心, 半径为 rr 的圆.

定义 3.1.2 对于孤立奇点 z0z_0, 定义 ff 在该点的留数

Res(f,z0):=12πi∮Cf(z)dz=α−1\mathop{\mathrm{Res}}(f,z_0):=\frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint_C f(z)\mathrm dz=\alpha_{-1}

它恰好等于该点 Laurent 展式的 −1-1 次项系数.

定理 3.1.3 (留数定理) 设 ff 在有界闭区域 DD 内除有限个孤立奇点外均解析, 则

12πi∮Cf(z)dz=∑ζRes(f,ζ)\frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint_C f(z)\mathrm dz=\sum_\zeta \mathop{\mathrm{Res}}(f,\zeta)

其中 ζ\zeta 取遍所有这些孤立奇点.

3.2 留数的计算方法​

3.3 利用留数定理计算实积分​

例 3.3.1 计算以下积分

∫02πdta+sin⁡t\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dt}{a+\sin t}

解 作代换

z:=eit=cos⁡t+isin⁡t, 1z=e−it=cos⁡t−isin⁡tz:=e^{\mathrm it}=\cos t+\mathrm i\sin t,\ \frac{1}{z}=e^{-\mathrm it}=\cos t-\mathrm i\sin t

两式相减得到

sin⁡t=12i(z−1z), dt=dziz\sin t=\frac{1}{2\mathrm i}\left(z-\frac{1}{z}\right),\ \mathrm dt=\frac{\mathrm dz}{\mathrm iz}

参考文献​

[1] 陈宗煊, 孙道椿, 刘名生. 复变函数[M]. 北京:科学出版社, 2010.