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函数 1/(x5+1)1/(x ^5 + 1) 不定积分的计算

  “粉碎网络钓鱼题”是本博客的一个新增系列, 旨在对互联网上热传的某些题面简单、解答却略显复杂的“钓鱼题”作出解析.

摘 要 本文演示如何用一般的有理分式函数积分方法计算实积分 ∫dx/(x5+1)\int \mathrm dx/(x ^5 + 1). 该积分的计算涉及到黄金分割数 φ\varphi 及其共轭 ψ\psi. 灵活运用黄金分割数的性质, 可以使得该积分的计算过程简洁而优美.

图 1: 题面

  本题求解以下的实积分:

∫dxx5+1\int \frac{\mathrm dx}{x ^5 + 1}

1 黄金分割​

  x5,5x^5, \sqrt 5 这样的式子经常会与黄金分割产生联系. 定义黄金分割数 φ:=(1+5)/2=1.618…\varphi := (1 + \sqrt 5) / 2 = 1.618 \dots, 它有以下性质:

  • φ−1=φ−1=0.618…=(5−1)/2\varphi ^{-1} = \varphi - 1 = 0.618 \ldots = (\sqrt 5 - 1) / 2
  • φ2=φ+1=2.618…\varphi ^2 = \varphi + 1 = 2.618 \dots

定义共轭黄金分割数 ψ:=(1−5)/2=−0.618…\psi := (1 - \sqrt 5) / 2 = -0.618 \dots, 它也有相同的性质:

  • ψ−1=ψ−1=−1.618…\psi ^{-1} = \psi - 1 = -1.618 \dots
  • ψ2=ψ+1=0.381…\psi ^2 = \psi + 1 = 0.381 \dots

  实际上, φ\varphi 和 ψ\psi 是二次方程 x2−x−1=0x ^2 - x - 1 = 0 的两个根, 据 Vieta 定理有

φ+ψ=1,φψ=−1\varphi + \psi = 1, \quad \varphi \psi = -1

所以它们可以互相转化:

ψ=1−φ=−φ−1,φ=1−ψ=−ψ−1\psi = 1 - \varphi = -\varphi ^{-1}, \quad \varphi = 1 - \psi = -\psi ^{-1}

可以看到 φ\varphi 和 ψ\psi 有着高度对称性, 这有助于本题的化简工作.

2 因式分解​

  分母多项式 x5+1x ^5 + 1 在复平面上有五个根, 包含一个实根和两对共轭虚根:

x1=−1,x2,3=cos⁡36∘±isin⁡36∘,x4,5=cos⁡108∘±isin⁡108∘x _1 = -1, \quad x _{2, 3} = \cos 36 ^\circ \pm \mathrm i \sin 36 ^\circ, \quad x _{4, 5} = \cos 108 ^\circ \pm \mathrm i \sin 108 ^\circ

对共轭虚根做整理

{(x−x2)(x−x3)=x2−2xcos⁡36∘+1(x−x4)(x−x5)=x2−2xcos⁡108∘+1\left\{\begin{aligned} &(x - x_2)(x - x_3) = x ^2 - 2x \cos 36 ^\circ + 1\\ &(x - x_4)(x - x_5) = x ^2 - 2x \cos 108 ^\circ + 1 \end{aligned}\right.

我们知道

cos⁡36∘=φ2,cos⁡108∘=ψ2\cos 36 ^\circ = \frac{\varphi}{2}, \quad \cos 108 ^\circ = \frac{\psi}{2}

所以

x5+1=∏(x−xi)=(x+1)(x2−φx+1)(x2−ψx+1)x ^5 + 1 = \prod (x - x_i) = (x + 1)(x ^2 - \varphi x + 1)(x ^2 - \psi x + 1)

原积分即

∫dx(x+1)(x2−φx+1)(x2−ψx+1)\int \frac{\mathrm dx}{(x + 1)(x ^2 - \varphi x + 1)(x ^2 - \psi x + 1)}

3 待定系数​

  设置待定系数

⋯=∫(Ax+1+Bx+Cx2−φx+1+Dx+Ex2−ψx+1)dx\dots = \int \left( \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x ^2 - \varphi x + 1} + \frac{Dx + E}{x ^2 - \psi x + 1} \right)\mathrm dx

通分

⋯=∫p(x)(x+1)(x2−φx+1)(x2−ψx+1)dx\dots = \int \frac{p(x)}{(x + 1)(x ^2 - \varphi x + 1)(x ^2 - \psi x + 1)}\mathrm dx

其中分子是

p(x)=A(x2−φx+1)(x2−ψx+1)+(Bx+C)(x+1)(x2−ψx+1)+(Dx+E)(x+1)(x2−φx+1)\begin{aligned} p(x) = &A(x ^2 - \varphi x + 1)(x ^2 - \psi x + 1)\\ &+ (Bx + C)(x + 1)(x ^2 - \psi x + 1)\\ &+ (Dx + E)(x + 1)(x ^2 - \varphi x + 1) \end{aligned}

展开得到

p(x)=x4(A+B+D)+x3(−A+φB+C+ψD+E)+x2(A+φB+φC+ψD+ψE)+x(−A+B+φC+D+ψE)+(A+C+E)\begin{aligned} p(x) = &x ^4 (A + B + D)\\ &+ x ^3 (-A + \varphi B + C + \psi D + E)\\ &+ x ^2 (A + \varphi B + \varphi C + \psi D + \psi E)\\ &+ x (-A + B + \varphi C + D + \psi E)\\ &+ (A + C + E) \end{aligned}

比较系数, 列出线性方程组

(11010−1φ1ψ11φφψψ−11φ1ψ10101)(ABCDE)=(00001)\left(\begin{array}{c|cc|cc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ -1 & \varphi & 1 & \psi & 1\\ 1 & \varphi & \varphi & \psi & \psi\\ -1 & 1 & \varphi & 1 & \psi\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \begin{pmatrix} A\\ B\\ C\\ D\\ E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}

求解得到

A=15,B=−φ5,C=25,D=−ψ5,E=25A = \frac{1}{5}, \quad B = -\frac{\varphi}{5}, \quad C = \frac{2}{5}, \quad D = -\frac{\psi}{5}, \quad E = \frac{2}{5}

回代, 得原积分等价式

⋯=15∫(1x+1+−φx+2x2−φx+1+−ψx+2x2−ψx+1)dx\dots = \frac 15 \int \left( \frac{1}{x + 1} + \frac{-\varphi x + 2}{x ^2 - \varphi x + 1} + \frac{-\psi x + 2}{x ^2 - \psi x + 1} \right)\mathrm dx

4 求解积分​

  以下就没有什么技巧了. 第一项:

∫dxx+1=ln⁡∣x+1∣+C\int \frac{\mathrm dx}{x + 1} = \ln |x + 1| + C

第二项使用配方法:

∫−φx+2x2−φx+1dx=∫−φx+φ22+2−φ22x2−φx+φ24+1−φ24dx=∫−φ(x−φ2)+3−φ2(x−φ2)2+3−φ4dx=−φ∫x−φ2(x−φ2)2+3−φ4dx+3−φ2∫1(x−φ2)2+3−φ4dx=−φ2ln⁡(x2−φx+1)+3−φarctan⁡2x−φ3−φ+C\begin{aligned} \int \frac{-\varphi x + 2}{x ^2 - \varphi x + 1} \mathrm dx &= \int \frac{-\varphi x + \frac{\varphi ^2}{2} + 2 - \frac{\varphi ^2}{2}}{x ^2 - \varphi x + \frac{\varphi ^2}{4} + 1 - \frac{\varphi ^2}{4}} \mathrm dx = \int \frac{-\varphi (x - \frac{\varphi}{2}) + \frac {3 - \varphi} 2}{(x - \frac{\varphi}{2}) ^2 + \frac{3 - \varphi}{4}} \mathrm dx\\ &= -\varphi \int \frac{x - \frac{\varphi}{2}}{(x - \frac{\varphi}{2}) ^2 + \frac {3 - \varphi} 4} \mathrm dx + \frac {3 - \varphi} 2 \int \frac{1}{(x - \frac{\varphi}{2}) ^2 + \frac {3 - \varphi} 4} \mathrm dx\\ &= -\frac{\varphi}{2} \ln (x ^2 - \varphi x + 1) + \sqrt{3 - \varphi} \arctan \frac{2x - \varphi}{\sqrt{3 - \varphi}} + C \end{aligned}

第三项是同理的. 此时这个积分的结果已经出来了:

∫dxx5+1=15(ln⁡∣x+1∣−φ2ln⁡(x2−φx+1)+3−φarctan⁡2x−φ3−φ−ψ2ln⁡(x2−ψx+1)+3−ψarctan⁡2x−ψ3−ψ)+C\begin{aligned} \int \frac{\mathrm dx}{x ^5 + 1} = \frac 15 \Bigg( \ln |x + 1| &- \frac{\varphi}{2} \ln (x ^2 - \varphi x + 1) + \sqrt{3 - \varphi} \arctan \frac{2x - \varphi}{\sqrt{3 - \varphi}}\\ &-\frac{\psi}{2} \ln (x ^2 - \psi x + 1) + \sqrt{3 - \psi} \arctan \frac{2x - \psi}{\sqrt{3 - \psi}} \Bigg) + C \end{aligned}

其中

φ=1+52,ψ=1−52\varphi = \frac{1 + \sqrt 5}{2}, \quad \psi = \frac{1 - \sqrt 5}{2}

也可以将其代入, 得到一个十分丑陋的式子:

∫dxx5+1=15ln⁡∣x+1∣−1+520ln⁡(x2−1+52x+1)+10−2510arctan⁡4x−1−510−25−1−520ln⁡(x2−1−52x+1)+10+2510arctan⁡4x−1+510+25+C\begin{aligned} \int \frac{\mathrm dx}{x ^5 + 1} = \frac 15 \ln |x + 1| &- \frac{1 + \sqrt 5}{20} \ln \left(x ^2 - \frac{1 + \sqrt 5}{2} x + 1\right) + \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt 5}}{10} \arctan \frac{4x - 1 - \sqrt 5}{\sqrt{10 - 2\sqrt 5}}\\ &-\frac{1 - \sqrt 5}{20} \ln \left(x ^2 - \frac{1 - \sqrt 5}{2} x + 1\right) + \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt 5}}{10} \arctan \frac{4x - 1 + \sqrt 5}{\sqrt{10 + 2\sqrt 5}} + C \end{aligned}

参考文献​

[1] 维基百科. 黄金分割率.