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有理函数的不定积分方法

摘 要 在实际应用的场合中, 绝大部分函数的不定积分其实是积不出的, 所以积得出的那一部分函数就显得尤为珍贵. 本文旨在介绍一类已经被完全解决了的问题: 形如 P(x)/Q(x)P(x)/Q(x) 的有理分式函数的积分方法. 其中 P(x)P(x) 和 Q(x)Q(x) 为关于 xx 的多项式.

1 多项式除法​

真分式与假分式 分子次数小于分母的有理分式称为真分式, 否则称为假分式.

假分式的分解 如同假分数可以分解为一个整数与一个真分数之和, 假分式也可以分解为一个分式与一个真分式之和. 例如

x3+x+3x+1=x2−x+2+1x+1\frac{x^3+x+3}{x+1}=x^2-x+2+\frac{1}{x+1}

假分式的分解通过多项式除法完成. 多项式除法与数的除法是一样的, 仅仅是数的各数位换成了多项式的各项. 图1: 多项式除法 在上图所示的竖式中, 被除数位置为被除式, 左边是除式, 顶部为商式, 右下为余式. 该竖式将被除式分解为了

被除式除式=商式+余式除式\frac{\text{被除式}}{\text{除式}}=\text{商式}+\frac{\text{余式}}{\text{除式}}

2 真分式的部分分式分解​

部分分式 部分分式包括两类, 一类分母是一次项的幂、分子是常数, 一类分母是二次项的幂、分子是一次项. 即

A(x−a)kandMx+N(x2+px+q)k\frac{A}{(x-a)^k}\quad \text{and}\quad \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^k}

其中 k=1,2,⋯k=1,2,\cdots.

实数系内多项式的因式分解定理 实数范围内, 任意一个多项式都可以分解为若干个一次多项式 (x−a)(x-a) 和若干个二次不可约多项式 (x2+px+q),p2−4q<0(x^2+px+q),p^2-4q<0 的乘积的形式.

例 x5+x4−2x3−x2−x+2=(x−1)2(x+2)(x2+x+1)x^5+x^4-2x^3-x^2-x+2=(x-1)^2(x+2)(x^2+x+1)

注 多项式的因式分解其实是求根的过程. 由于 nn 次多项式必有 nn 个根 (可能是复根), 且复根必成对出现, 故每一个实根 x=ax=a 对应一个一次多项式 (x−a)(x-a), 每一对复根 x=u±ivx=u\pm \mathrm iv 对应一个二次不可约多项式 (x−u−iv)(x−u+iv)(x-u- \mathrm iv)(x-u+ \mathrm iv).

部分分式分解定理 任意一个有理分式函数都可以分解为部分分式之和的形式.

  下面介绍部分分式分解的步骤. 首先将部分分式的分母 Q(x)Q(x) 在实数范围内作彻底的因式分解 (即前述所提到的若干一次多项式和若干二次不可约多项式之积).

因式中的一次多项式

  • 若因式中有一个 (x−a)(x-a), 则分解后的式子中应有一个 Ax−a\frac{A}{x-a}, 其中 AA 是待定系数.
  • 若因式中有一个 (x−a)2(x-a)^2, 则分解后的式子中应有一个 Ax−a+B(x−a)2\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}, 其中 A,BA,B 是待定系数.
  • 若因式中有一个 (x−a)3(x-a)^3, 则分解后的式子中应有一个 Ax−a+B(x−a)2+C(x−a)3\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{(x-a)^3}, 其中 A,B,CA,B,C 是待定系数.
  • 以此类推

因式中的二次不可约多项式

  • 若因式中有一个 (x2+px+q)(x^2+px+q), 则分解后的式子中应有一个 Mx+Nx+px+q\frac{Mx+N}{x+px+q}, 其中 M,NM,N 是待定系数.
  • 若因式中有一个 (x2+px+q)2(x^2+px+q)^2, 则分解后的式子中应有一个 Mx+Nx+px+q+Sx+T(x+px+q)2\frac{Mx+N}{x+px+q}+\frac{Sx+T}{(x+px+q)^2}, 其中 M,N,S,TM,N,S,T 是待定系数.
  • 若因式中有一个 (x2+px+q)3(x^2+px+q)^3, 则分解后的式子中应有一个 Mx+Nx+px+q+Sx+T(x+px+q)2+Ux+V(x+px+q)3\frac{Mx+N}{x+px+q}+\frac{Sx+T}{(x+px+q)^2}+\frac{Ux+V}{(x+px+q)^3}, 其中 M,N,S,T,U,VM,N,S,T,U,V 是待定系数.
  • 以此类推

例 因式分解的结果是 (x−1)2(x+2)(x2+x+1)(x-1)^2(x+2)(x^2+x+1), 故部分分式分解的结果应该是

Ax−1+B(x−1)2+Cx+2+Dx+Ex2+x+1\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+2}+\frac{Dx+E}{x^2+x+1}

其中 A,B,C,D,EA,B,C,D,E 是待定系数. 从上述规则可以看出, 待定系数的数量与原多项式的次数应该是一样的.

  将上述分解式通分后与原分式对应系数比较, 即可求得各待定系数的值.

例 作部分分式分解 1x2−1\frac{1}{x^2-1}.

1x2−1=1(x−1)(x+1)=Ax−1+Bx+1=(A+B)x+(A−B)x2−1\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=\frac{(A+B)x+(A-B)}{x^2-1}

上式第一式与最后一式对应系数相等, 列出方程并求解

{0=A+B1=A−B⟹{A=1/2B=−1/2\left\{\begin{aligned}0&=A+B\\1&=A-B\end{aligned}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{aligned}A&=1/2\\B&=-1/2\end{aligned}\right.

故

1x2−1=1/2x−1+−1/2x+1\frac{1}{x^2-1}=\frac{1/2}{x-1}+\frac{-1/2}{x+1}

例 作部分分式分解 x3−2xx5+x4−2x3−x2−x+2\frac{x^3-2x}{x^5+x^4-2x^3-x^2-x+2}.

解

x3−2xx5+x4−2x3−x2−x+2=x3−2x(x−1)2(x+2)(x2+x+1)=Ax−1+B(x−1)2+Cx+2+Dx+Ex2+x+1=(A+C+D)x4+(2A+B−C+E)x3+(3B−3D)x2+(−A+3B−C+2D−3E)x+(−2A+2B+C+2E)(x−1)2(x+2)(x2+x+1)\begin{aligned}&\frac{x^3-2x}{x^5+x^4-2x^3-x^2-x+2}\\=&\frac{x^3-2x}{(x-1)^2(x+2)(x^2+x+1)}\\=&\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x+2}+\frac{Dx+E}{x^2+x+1}\\=&\tfrac{(A+C+D)x^4+(2A+B-C+E)x^3+(3B-3D)x^2+(-A+3B-C+2D-3E)x+(-2A+2B+C+2E)}{(x-1)^2(x+2)(x^2+x+1)}\end{aligned}

上式第二行与第四行对应系数相等, 列出方程并求解

{0=A+C+D1=2A+B−C+E0=3B−3D−2=−A+3B−C+2D−3E0=−2A+2B+C+2E⟹{A=−1B=1C=0D=1E=2\left\{\begin{aligned}0&=A+C+D\\1&=2A+B-C+E\\0&=3B-3D\\-2&=-A+3B-C+2D-3E\\0&=-2A+2B+C+2E\end{aligned}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{aligned}A&=-1\\B&=1\\C&=0\\D&=1\\E&=2\end{aligned}\right.

故

x3−2xx5+x4−2x3−x2−x+2=−1x−1+1(x−1)2+x+2x2+x+1\frac{x^3-2x}{x^5+x^4-2x^3-x^2-x+2}=\frac{-1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{x+2}{x^2+x+1}

3 部分分式的不定积分​

1x−a\frac{1}{x-a} 的不定积分

∫dxx−a=ln⁡∣x−a∣+C\int \frac{\mathrm dx}{x-a}=\ln|x-a|+C

1(x−a)k\frac{1}{(x-a)^k} 的不定积分

∫dx(x−a)k=∫d(x−a)(x−a)k=1(1−k)(x−a)k−1+C\int \frac{\mathrm dx}{(x-a)^k}=\int \frac{\mathrm d(x-a)}{(x-a)^k}=\frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+C

  对于二次不可约多项式 (x2+px+q)(x^2+px+q), 为运算简便, 一般先将其配方为 (x−a)2+r2(x-a)^2+r^2 后研究.

xx2+px+q\frac{x}{x^2+px+q} 的不定积分

∫xdxx2+px+q=配方∫xdx(x−a)2+r2=∫(x−a)dx(x−a)2+r2+∫adx(x−a)2+r2=12ln⁡((x−a)2+r2)+∫adx(x−a)2+r2\begin{aligned}\int \frac{x\mathrm dx}{x^2+px+q}&\overset{\text{配方}}{=}\int \frac{x\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}\\&=\int \frac{(x-a)\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}+\int \frac{a\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}\\&=\frac{1}{2}\ln\left((x-a)^2+r^2\right)+\int \frac{a\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}\end{aligned}

x(x2+px+q)k\frac{x}{(x^2+px+q)^k} 的不定积分

∫xdx(x2+px+q)k=配方∫xdx((x−a)2+r2)k=∫(x−a)dx((x−a)2+r2)k+∫adx((x−a)2+r2)k=12(1−k)((x−a)2+r2)k−1+∫adx((x−a)2+r2)k\begin{aligned}\int \frac{x\mathrm dx}{(x^2+px+q)^k}&\overset{\text{配方}}{=}\int \frac{x\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}\\&=\int \frac{(x-a)\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}+\int \frac{a\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}\\&=\frac{1}{2(1-k)\left((x-a)^2+r^2\right)^{k-1}}+\int \frac{a\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}\end{aligned}

1x2+px+q\frac{1}{x^2+px+q} 的不定积分

∫dxx2+px+q=配方∫dx(x−a)2+r2=1r∫d(x−ar)(x−ar)2+1=1rarctan⁡x−ar+C\int \frac{\mathrm dx}{x^2+px+q}\overset{\text{配方}}{=}\int \frac{\mathrm dx}{(x-a)^2+r^2}=\frac{1}{r}\int \frac{\mathrm d\left(\frac{x-a}{r}\right)}{\left(\frac{x-a}{r}\right)^2+1}=\frac{1}{r}\arctan \frac{x-a}{r}+C

1(x2+px+q)k\frac{1}{\left(x^2+px+q\right)^k} 的不定积分

Ik=∫dx(x2+px+q)k=配方∫dx((x−a)2+r2)k=t:=x−a∫dx(t2+r2)k=1r2∫(t2+r2)−t2(t2+r2)k=1r2Ik−1−1r2∫t2dt(t2+r2)k\begin{aligned}I_k&=\int \frac{\mathrm dx}{\left(x^2+px+q\right)^k}\overset{\text{配方}}{=}\int \frac{\mathrm dx}{\left((x-a)^2+r^2\right)^k}\overset{t:=x-a}{=}\int \frac{\mathrm dx}{\left(t^2+r^2\right)^k}\\&=\frac{1}{r^2}\int\frac{(t^2+r^2)-t^2}{(t^2+r^2)^k}=\frac{1}{r^2}I_{k-1}-\frac{1}{r^2}\int\frac{t^2\mathrm dt}{(t^2+r^2)^k}\end{aligned}

其中

∫t2dt(t2+r2)k=凑微分12∫t(t2+r2)kd(t2+r2)=12∫t(t2+r2)−kd(t2+r2)=凑微分12∫td(t2+r2)1−k1−k=12(1−k)∫td1(t2+r2)k−1=分部积分12(1−k)(t(t2+r2)k−1−Ik−1)\begin{aligned}\int\frac{t^2\mathrm dt}{(t^2+r^2)^k}&\overset{\text{凑微分}}{=}\frac{1}{2}\int \frac{t}{(t^2+r^2)^k}\mathrm d(t^2+r^2)=\frac{1}{2}\int t(t^2+r^2)^{-k}\mathrm d(t^2+r^2)\\&\overset{\text{凑微分}}{=}\frac{1}{2}\int t\mathrm d\frac{(t^2+r^2)^{1-k}}{1-k}=\frac{1}{2(1-k)}\int t\mathrm d\frac{1}{(t^2+r^2)^{k-1}}\\&\overset{\text{分�部积分}}{=}\frac{1}{2(1-k)}\left(\frac{t}{(t^2+r^2)^{k-1}}-I_{k-1}\right)\end{aligned}

回代, 得

Ik=1r2Ik−1−1r2∫t2dt(t2+r2)k=1r2Ik−1+12r2(k−1)(t(t2+r2)k−1−Ik−1)=2k−32r2(k−1)Ik−1+t2r2(k−1)(t2+r2)k−1=回代2k−32r2(k−1)Ik−1+x−a2r2(k−1)((x−a)2+r2)k−1\begin{aligned}I_k&=\frac{1}{r^2}I_{k-1}-\frac{1}{r^2}\int\frac{t^2\mathrm dt}{(t^2+r^2)^k}\\&=\frac{1}{r^2}I_{k-1}+\frac{1}{2r^2(k-1)}\left(\frac{t}{(t^2+r^2)^{k-1}}-I_{k-1}\right)\\&=\frac{2k-3}{2r^2(k-1)}I_{k-1}+\frac{t}{2r^2(k-1)(t^2+r^2)^{k-1}}\\&\overset{\text{回代}}{=}\frac{2k-3}{2r^2(k-1)}I_{k-1}+\frac{x-a}{2r^2(k-1)((x-a)^2+r^2)^{k-1}}\end{aligned}

上式给出了 IkI_k 到 Ik−1I_{k-1} 的递推关系. 多次运用该式, 直到归结为 I1I_1 即可.

  至此, 有理分式函数的不定积分求解已经全部完成. 所有有理分式函数的不定积分均是初等函数.