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三角函数有理式及某些无理根式的不定积分方法

摘 要 本文旨在介绍三角函数有理式 R(sinx,cosx)R(\sin x,\cos x)R(x,ax2+bx+c)R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) 型无理根式的不定积分方法.

1 三角函数有理式的“万能代换”

  考虑万能代换 t:=tanx2, π<t<πt:=\tan \frac{x}{2},\ -\pi<t<\pi

x=2arctantdx=21+t2dtx=2\arctan t\qquad \mathrm dx=\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt sinx=2sinx2cosx2sin2x2+cos2x2=2tanx21+tan2x2=2t1+t2\sin x=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin ^2\frac{x}{2}+\cos ^2\frac{x}{2}}=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2} cosx=cos2x2sin2x2sin2x2+cos2x2=1tan2x21+tan2x2=1t21+t2\cos x=\frac{\cos ^2\frac{x}{2}-\sin ^2\frac{x}{2}}{\sin ^2\frac{x}{2}+\cos ^2\frac{x}{2}}=\frac{1-\tan ^2\frac{x}{2}}{1+\tan ^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}

R(sinx,cosx)dx=R(2t1+t2,1t21+t2)21+t2dt\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt

 计算不定积分dxsinx(1+cosx)\int \frac{\mathrm dx}{\sin x(1+\cos x)}. 解 作换元 t:=tanx2, dx=2dt1+t2, sinx=2t1+t2, cosx=1t21+t2t:=\tan \frac{x}{2},\ \mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{1+t^2},\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.

dxsinx(1+cosx)=12t1+t2+(1+1t21+t2)2dt1+t2=t2+12tdt=14t2+12lnt+C=14tan2x2+12lntanx2+C\begin{aligned}\int \frac{\mathrm dx}{\sin x(1+\cos x)}&=\int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+\left(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{t^2+1}{2t}\mathrm dt=\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}\ln |t|+C\\&=\frac{1}{4}\tan ^2\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C\end{aligned}

2 R(x,ax2+bx+c)R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) 型无理根式的 Euler 代换

  考虑 Euler 第一代换 ax2+bx+c=ax±t\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt ax\pm t. 若 c>0c>0, 还可考虑 Euler 第二代换 ax2+bx+c=xt±c\sqrt{ax^2+bx+c}=xt\pm \sqrt c.

 计算不定积分dxxx2+x+1\int \frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}. 解 作 Euler 第二变换 x2+x+1=xt+1\sqrt{x^2+x+1}=xt+1,

t=x2+x+11x, x=12tt21, dx=2(t2t+1)(t21)2dtt=\frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{x},\ x=\frac{1-2t}{t^2-1},\ \mathrm dx=\frac{2(t^2-t+1)}{(t^2-1)^2}\mathrm dt

代入, 得

x2+x+1=12tt21t+1=t2t+1t21\sqrt{x^2+x+1}=\frac{1-2t}{t^2-1}\cdot t+1=-\frac{t^2-t+1}{t^2-1}

代入原式, 得

dxxx2+x+1=t2112tt21(t2t+1)2(t2t+1)(t21)2dt=22t1dt=ln2t1+C=ln2x2+x+1x2x+C\begin{aligned}\int \frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}&=\int \frac{t^2-1}{1-2t}\frac{t^2-1}{-(t^2-t+1)}\frac{2(t^2-t+1)}{(t^2-1)^2}\mathrm dt\\&=\int\frac{2}{2t-1}\mathrm dt=\ln |2t-1|+C\\&=\ln \left|\frac{2\sqrt{x^2+x+1}-x-2}{x}\right|+C\end{aligned}