流形上的积分和外微分形式

摘 要 本文首先介绍了低维空间内的两型曲线积分和曲面积分, 并解释了它们之间的关系. 然后介绍了场论三度, 再以其为工具介绍了低维流形积分的三大公式, 同时简述了场论三度的二阶运算. 随后引出外微分形式, 阐释了场论三度和三大公式的内在联系. 最后将外微分理论应用性地推广向四维, 列出了四维空间中联系各阶流形的四个度和三条公式.

1 低维流形上的积分

1.1 第一型流形积分 (标量场在曲线上的累积)

1.1.1 第一型曲线积分 (1-流形)

  设有一个定义在平面上的数量场 $f(x,y):\mathbb R^2\to \mathbb R$, 另有一由参数方程表示的曲线

$$L:x=x(t),y=y(t),t\in [\alpha,\beta]$$

则该曲线上累积的值(积分)为第一型曲线积分, 可以化为定积分

$$\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\mathrm ds\quad\text{where}\quad \mathrm ds=\sqrt{\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2+\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right)^2}\cdot \mathrm dt$$

其中 $\mathrm ds$ 是弧微分. 第一型曲线积分的物理意义是一曲线在质量场上累积的积分, 相应于离散情况的以下求和式:

$$\lim \sum _{(x,y)}f(x,y)\Delta s$$

1.1.2 第一型曲面积分 (2-流形)

  设空间内有一数量场 $f(x,y,z):\mathbb R^3\to \mathbb R$, 另有一由参数方程表示的曲面

$$\varSigma:x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)\in D$$

与上小节类比, 该曲面上累积的值为第一型曲面积分, 化为定积分

$$\iint_\varSigma f(x,y,z)\mathrm dA=\iint_D f(x,y,z)\sqrt{EG-F^2}\mathrm du\mathrm dv$$

其中 $\mathrm dA$ 是面积元素(即为面积的微元), 另

$$E=\sum_{x,y,z}x_u^2,\quad F=\sum_{x,y,z}x_ux_v,\quad G=\sum_{x,y,z}x_v^2$$

  特殊地, 若曲面 $\varSigma$ 有显式方程 $z=z(x,y)$, 则第一型曲面积分有便捷计算方式

$$\iint_\varSigma f(x,y,z)\mathrm dA=\iint_D f(x,y,z)\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm dx\mathrm dy$$

1.2 第二型流形积分 (矢量场与曲线前向点乘的累积)

1.2.1 第二型曲线积分 (1-流形)

  考虑二维数量场 $A(x,y),B(x,y)$ 和定向曲线 $L^+$. 第二型曲线积分亦可化为定积分

$$\int_{L^+} A\mathrm dx+B\mathrm dy=\int_\alpha ^\beta\left(A\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+B\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right)\mathrm dt$$

第二型曲线积分的物理意义是力场对物体做功的总量. 相应于离散情况的以下求和式:

$$\lim \sum _{(x,y)}\boldsymbol f(x,y)\cdot \Delta \boldsymbol r$$

1.2.2 第二型曲面积分 (2-流形)

  考虑二维数量场 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 和定向曲面 $\varSigma^+$. 第二型曲线积分

$$\iint_{\varSigma^+} P\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dz\mathrm dx+R\mathrm dx\mathrm dy=\iint_D\left(P\left|\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right|+Q\left|\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right|+R\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\right)\mathrm du\mathrm dv$$

若积分曲面取 $\varSigma^-$, 则积分值取相反数. 特殊地, 若曲面有显式方程 $z=z(x,y)$ 且 $P=Q=0$, 则第二型曲面积分有便捷计算方式:

$$\iint_{\varSigma^+} R\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{D_{xy}} R\mathrm dx\mathrm dy$$

其中 $D_{xy}$ 是 $\varSigma$ 在 $xOy$ 的投影区域.

1.3 两型流形积分的关系

1.3.1 两型曲线积分的关系 (1-流形)

  第二型曲线积分可划归第一型曲线积分:

$$\int _{L^+}P\mathrm dx+Q\mathrm dy=\int_L(P\cos \alpha+Q\cos \beta)\mathrm ds$$

其中 $\alpha(x,y),\beta(x,y)$ 是 $(x,y)$ 处切向量的方向余弦, 可通过 $x(t),y(t)$ 表示:

$$\cos \alpha=\frac{x'}{\sqrt{{x'}^2+{y'}^2}},\quad \cos \beta=\frac{y'}{\sqrt{{x'}^2+{y'}^2}}$$

1.3.2 两型曲面积分的关系 (2-流形)

  第二型曲面积分可划归第一型曲面积分:

$$\int _{\varSigma^+}P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz=\int_L(P\cos \alpha+Q\cos \beta+R\cos \gamma)\mathrm dA$$

其中 $\alpha(x,y,z),\beta(x,y,z),\gamma(x,y,z)$ 是 $(x,y,z)$ 处法向量的方向余弦:

$$\boldsymbol n=\begin{pmatrix}x_u\\y_u\\z_u\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x_v\\y_v\\z_v\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}\cos\alpha\\\cos\beta\\\cos\gamma\end{pmatrix}=\frac{\boldsymbol n}{|\boldsymbol n|}$$

特殊地, 若曲面有显式方程 $z=z(x,y)$, 则法向量的方向余弦有快捷计算方法:

$$\cos \alpha=\frac{-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\quad\cos \beta=\frac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\quad\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$$

2 场论三度与三大公式

2.1 Nabla 算子、梯度、散度、旋度

  定义三维 Nabla 算子 $\nabla =\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)$, 对于数量场 $f:\mathbb R^3\to \mathbb R$, 定义其梯度

$$\nabla f:=\mathop{\boldsymbol{\mathrm{grad}}}f:=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$$

向量场 $\boldsymbol F=(P,Q,R):\mathbb R^3\to \mathbb R^3$, 定义其散度和旋度

$$\left\{\begin{aligned}&\nabla \cdot \boldsymbol F:=\mathop{\mathrm{div}} \boldsymbol F:=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\\ &\nabla \times \boldsymbol F:=\mathop{\boldsymbol{\mathrm{rot}}}\boldsymbol F:=\mathop{\boldsymbol{\mathrm{curl}}}\boldsymbol F:=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}\end{aligned}\right.$$

2.2 Green 公式, Gauss 公式, Stokes 公式

2.2.1 $\mathbb R^2$ 内 1-闭流形的 Green 公式

  平面上闭曲线 $\partial D$ 的曲线积分与其内部 $D$ 的二重积分存在如下关系:

$$\oint_{\partial D}P\mathrm dx+Q\mathrm dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_D\begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q\end{vmatrix}\mathrm dx\mathrm dy$$

如果允许定义二维的 Nabla 算子 $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right)$, Gauss 公式就可以写作以下形式

$$\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\iint_D\nabla \times\boldsymbol F \mathrm dA$$

其中 $\boldsymbol F=(P,Q),\ \mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy),\ \mathrm dA=\mathrm dx\mathrm dy$, 二维向量的叉乘 $(a,b)\times(c,d)=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$.

2.2.2 $\mathbb R^3$ 内 2-闭流形的 Gauss 公式 (散度定理)

  空间内闭曲面 $\partial \varSigma$ 的曲面积分与其内部 $\varSigma$ 的三重积分存在如下关系:

$$\oiint_{\partial \varSigma} A\mathrm dy\mathrm dz+B\mathrm dz\mathrm dx+C\mathrm dx\mathrm dy=\iiint_\varSigma \left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz$$

以上公式可以写成散度的形式:

$$\oiint_{\partial \varSigma} \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A=\iiint_\varSigma \nabla\cdot\boldsymbol F\mathrm dV$$

其中 $\boldsymbol F=(A,B,C),\ \mathrm d\boldsymbol A=(\mathrm dy\mathrm dz,\mathrm dz\mathrm dx,\mathrm dx\mathrm dy),\ \mathrm dV=\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz$.

2.2.3 $\mathbb R^3$ 内 1-闭流形的 Stokes 公式 (旋度定理)

  空间内闭曲线 $\partial D$ 的曲线积分与其内部 $D$ 的曲面积分存在如下关系:

$$\begin{aligned}\oint_{\partial D}P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz&=\iint_D \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm dy\mathrm dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm dz\mathrm dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy\\&=\iint_D\begin{vmatrix}\mathrm dy\mathrm dz&\mathrm dz\mathrm dx&\mathrm dx\mathrm dy\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}\end{aligned}$$

以上公式可以写成旋度的形式:

$$\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\iint_D\nabla \times\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A$$

其中 $\boldsymbol F=(P,Q,R),\ \mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz),\ \mathrm d\boldsymbol A=(\mathrm dy\mathrm dz,\mathrm dz\mathrm dx,\mathrm dx\mathrm dy)$.

2.3 场论三度的二阶运算

  梯度 $\nabla f$ 将数量场映射到向量场, 散度 $\nabla \cdot \boldsymbol F$ 将向量场映射到数量场, 旋度 $\nabla \times \boldsymbol F$ 将向量场映射到向量场. 故考虑梯度的散度 $\nabla \cdot \nabla f$、梯度的旋度 $\nabla \times \nabla f$, 散度的梯度 $\nabla (\nabla \cdot \boldsymbol F)$、旋度的散度 $\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol F)$ 和旋度的旋度 $\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol F)$ 是有意义的.

2.3.1 梯度的散度: Laplace 算子

  直接计算得出

$$\nabla\cdot\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^2=:\nabla^2 f$$

以上定义了 $\nabla^2:=\nabla\cdot\nabla$ 是 Laplace 算子.

2.3.2 梯度的旋度、旋度的散度: 恒为零

  直接计算可得

$$\nabla \times \nabla f\equiv \boldsymbol 0\qquad \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol F)\equiv 0$$

2.3.3 散度的梯度、旋度的旋度

  考虑散度的梯度

$$\nabla (\nabla \cdot \boldsymbol F)=\left(\frac{\partial \nabla \cdot \boldsymbol F}{\partial x},\frac{\partial \nabla \cdot \boldsymbol F}{\partial y},\frac{\partial \nabla \cdot \boldsymbol F}{\partial z}\right)$$

关于旋度的旋度, 在形式上考虑二重向量积展开, 有

$$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol F)=\nabla (\nabla \cdot \boldsymbol F)-\nabla ^2\boldsymbol F$$

其中 $\nabla ^2 \boldsymbol F=(\nabla^2P,\nabla^2Q,\nabla^2R)^{\mathrm T}$ 是向量 Laplace 算子.

3 外微分形式

  在前面的几节中, 出现了线积分、面积分与体积分等, 与之同时出现的是一些微分形式.

一次微分形式 $\int P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz$

二次微分形式 $\iint A\mathrm dy\mathrm dz+B\mathrm dz\mathrm dx+C\mathrm dx\mathrm dy$

三次微分形式 $\iiint H\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz$

在我们所讨论的三度空间中, 能出现的微分形式就是这三种, 在加上零次微分形式即函数 $f$.

  此外, 我们还有了联系这些线、面、体积分的三个基本公式, 即

Green 公式 $\oint_{\partial D}P\mathrm dx+Q\mathrm dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy$

Gauss 公式 $\oiint_{\partial \varSigma}P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz=\iiint_\varSigma \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz$

Stokes 公式 $\oint_{\partial D}P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz=\iint_D \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm dy\mathrm dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm dz\mathrm dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy$

这表面上看来很不相像的上述三个公式, 它们之间有没有什么联系? 它们的本质是什么? 能不能用统一的公式将它们概括起来, 以至使之能在更高维的空间中也有这样的公式?

  此外, 我们还介绍了场论的三个"度", 即梯度, 旋度与散度.

梯 度 $\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$

散 度 $\nabla \cdot \boldsymbol F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

旋 度 $\nabla \times \boldsymbol F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$

这三个"度"的物理意义是十分重要的, 已在前面作了阐述. 从数学上来看, 这三个"度"是怎样产生的, 它的意义如何? 还有没有其他的"度"?

  所有这些, 都必须在引入外微分形式之后才能清楚.

3.1 $\mathbb R^3$ 下的外微分形式

  前述线面积分考虑了积分流形的“正反面”问题, 现将流形的“正反面”推广到普通二重积分 (即 $\mathbb R^2$ 中 2-流形上的积分). 既然普通定积分的积分区域有从小到大和从大到小两种积分方向, 那么普通二重积分的积分区域也应该有正面和反面两种积分方向, 且它们的积分值应该差一个负号.

  现将这种“正反面”的差异体现在面积元素 $\mathrm dA$ 上. 定义面积元素为两个微分单位的楔积, 并且楔积运算具有反交换律. 即

$$\mathrm dA:=\mathrm dx\wedge \mathrm dy=-\mathrm dy\wedge \mathrm dx$$

  定义 $\mathbb R^3$ 下的四种外微分形式

零次外微分形式 $\omega_0=f$ 即函数本身.

一次外微分形式 $\omega_1=P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz$ 与一次微分形式相当.

二次外微分形式 $\omega_2=A\mathrm dy\wedge \mathrm dz+B\mathrm dz\wedge \mathrm dx+C\mathrm dx\wedge \mathrm dy$

三次外微分形式 $\omega_3=H\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz$

3.1.1 $\mathbb R^3$ 下的零阶外微分、梯度

  考虑 $\mathbb R^3$ 下各阶外微分形式的外微分. 对于零次外微分形式 $\omega_0=f(x,y,z)$, 其外微分即全微分

$$\mathrm d\omega_0=\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm dy+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm dz$$

然后发现零次外微分形式与梯度有对应关系

$$\mathrm d\omega_0=\nabla f\cdot \mathrm d\boldsymbol x,\quad \mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)$$

3.1.2 $\mathbb R^3$ 下的一阶外微分、旋度、Stokes 公式

  对于一次外微分形式 $\omega_1=\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz$, 定义

$$\mathrm d\omega_1=\mathrm dP\wedge \mathrm dx+\mathrm dQ\wedge \mathrm dy+\mathrm dR\wedge \mathrm dz$$

其中 $P,Q,R$ 又是零次外微分形式, 即 $\mathrm dK=\frac{\partial K}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial K}{\partial y}\mathrm dy+\frac{\partial K}{\partial z}\mathrm dz,\ K\in\{P,Q,R\}$. 直接计算可得

$$\begin{aligned}\mathrm d\omega_1&=\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm dx\wedge\mathrm dx+\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm dy\wedge\mathrm dx+\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm dz\wedge\mathrm dx\\&+\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm dx\wedge\mathrm dy+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm dy\wedge\mathrm dy+\frac{\partial Q}{\partial z}\mathrm dz\wedge\mathrm dy\\&+\frac{\partial R}{\partial x}\mathrm dx\wedge\mathrm dz+\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm dy\wedge\mathrm dz+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm dz\wedge\mathrm dz\\&=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm dy\wedge\mathrm dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm dz\wedge\mathrm dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\wedge\mathrm dy\end{aligned}$$

发现一次外微分形式与旋度有对应关系

$$\mathrm d\omega_1=\nabla\times\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A,\quad \mathrm d\boldsymbol A=(\mathrm dy\wedge\mathrm dz,\mathrm dz\wedge\mathrm dx,\mathrm dx\wedge\mathrm dy)$$

回顾 Stokes 公式, 发现可以写成外微分的形式

$$\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\iint_D\nabla \times\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A\iff \oint_{\partial D}\omega_1=\iint_D\mathrm d\omega_1$$

3.1.3 $\mathbb R^3$ 下的二阶外微分、散度、Gauss 公式

  对于二次外微分形式 $\omega_2=\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A=A\mathrm dy\wedge \mathrm dz+B\mathrm dz\wedge \mathrm dx+C\mathrm dx\wedge \mathrm dy$, 类似地定义

$$\begin{aligned}\mathrm d\omega_2&=\mathrm dA\wedge\mathrm dy\wedge \mathrm dz+\mathrm dB\wedge\mathrm dz\wedge \mathrm dx+\mathrm dC\wedge\mathrm dx\wedge \mathrm dy\\&=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz\end{aligned}$$

发现二次外微分形式与散度有对应关系

$$\mathrm d\omega_2=\nabla\cdot\boldsymbol F\mathrm dV,\quad \mathrm dV=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz$$

回顾 Gauss 公式, 发现可以写成外微分的形式

$$\iiint_{\partial \varSigma} \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A=\iiint_\varSigma \nabla\cdot\boldsymbol F\mathrm dV\iff \oiint_{\partial \varSigma}\omega_2=\iiint_\varSigma \mathrm d\omega_2$$

对于 $\mathrm R^3$ 下的三阶外微分, 容易验证它恒等于零.

3.1.4 $\mathbb R^2$ 下的一阶外微分、Green 公式

  考虑 $\mathbb R^2$ 下的一阶外微分形式 $\omega=\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=P\mathrm dx+Q\mathrm dy$ 及其外微分

$$\mathrm d\omega=\mathrm dP\wedge \mathrm dx+\mathrm dQ\wedge \mathrm dy=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right)\mathrm dA$$

其中 $\mathrm dA=\mathrm dx\wedge\mathrm dy$. 故 Green 公式可以写成

$$\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\iint_D\nabla \times\boldsymbol F \mathrm dA\iff \oint_{\partial D}\omega=\iint_D\mathrm d\omega$$

在不写出积分重数的情况下, 上述右侧的公式

$$\oint_{\partial D}\omega=\iint_D\mathrm d\omega$$

同时也是三大公式的统一形式, 并且可以推广到高维空间, 称之为广义 Stokes 定理.

3.2 推广: $\mathbb R^4$ 下的外微分形式

3.2.1 $\mathbb R^4$ 下的零阶外微分、梯度

  首先是零次外微分形式即 $\omega_0=f(x,y,z,w):\mathbb R^4\to \mathbb R$, 其外微分形式与低维空间相同:

$$\mathrm d\omega_0=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm dy+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm dz+\frac{\partial f}{\partial w}\mathrm dw$$

与低维情况类似, 定义四维 Nabla 算子

$$\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial}{\partial w}\right)$$

可以定义四元函数的梯度为 $\nabla f$, 零次外微分与梯度有对应关系

$$\mathrm d\omega_0=\nabla f\cdot \mathrm d\boldsymbol x,\quad \mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz,\mathrm dw)$$

3.2.2 $\mathbb R^4$ 下的一阶外微分、一阶旋度、一阶 Stokes 公式

  考虑一次外微分形式 $\omega_1=\boldsymbol F=(P,Q,R,S):\mathbb R^4\to \mathbb R^4$, 计算其外微分

$$\mathrm d\omega_1=\left( \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&R\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial w}\\P&S\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\Q&R\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial w}\\Q&S\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial z}&\frac{\partial}{\partial w}\\R&S\end{vmatrix} \right)\cdot \mathrm d\boldsymbol A$$

其中 $\mathrm d\boldsymbol A=(\mathrm dx\wedge\mathrm dy,\mathrm dx\wedge\mathrm dz,\mathrm dx\wedge\mathrm dw,\mathrm dy\wedge\mathrm dz,\mathrm dy\wedge\mathrm dw,\mathrm dz\wedge\mathrm dw)$. 定义上式中间的 6 维向量为 $\boldsymbol F$ 的一阶旋度 $\nabla \diamond \boldsymbol F$, 此时一阶旋度与一阶外微分有关系式

$$\mathrm d\omega_1=\nabla \diamond \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A$$

然后有 $\mathbb R^4$ 内 1-闭流形的 Stokes 公式

$$\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\nabla \diamond \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A$$

其中 $\mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz,\mathrm dw)$.

3.2.3 $\mathbb R^4$ 下的二阶外微分、二阶旋度、二阶 Stokes 公式

  考虑二次外微分形式 $\omega_2=\boldsymbol{\mathcal F}=(A,B,C,D,E,F):\mathbb R^4\to \mathbb R^6$, 计算其外微分

$$\mathrm d\omega_2=\left( \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial E}{\partial z}+\frac{\partial D}{\partial w}, \frac{\partial F}{\partial x}-\frac{\partial C}{\partial z}+\frac{\partial B}{\partial w}, \frac{\partial E}{\partial x}-\frac{\partial C}{\partial y}+\frac{\partial A}{\partial w}, \frac{\partial D}{\partial x}-\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial A}{\partial z}\right)\cdot \mathrm d\boldsymbol V$$

其中 $\mathrm d\boldsymbol V=(\mathrm dy\wedge\mathrm dz\wedge\mathrm dw,\mathrm dz\wedge\mathrm dw\wedge\mathrm dx,\mathrm dw\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz)$. 记上式中 4 维向量为函数 $\boldsymbol{\mathcal F}$ 的二阶旋度 $\nabla \circ \boldsymbol{\mathcal F}$, 其与二阶外微分有关系式

$$\mathrm d\omega_2=\nabla \circ \boldsymbol{\mathcal F}\cdot \mathrm d\boldsymbol V$$

然后有 $\mathbb R^4$ 内 2-闭流形的 Stokes 公式

$$\oiint_{\partial \varSigma}\boldsymbol{\mathcal F}\cdot \mathrm d\boldsymbol A=\iiint_\varSigma \nabla\circ\boldsymbol{\mathcal F}\cdot \mathrm dV$$

3.2.4 $\mathbb R^4$ 下的三阶外微分、散度、三阶 Stokes 公式

  考虑三次外微分形式 $\omega_3=\boldsymbol F=(H,I,J,K):\mathbb R^4\to \mathbb R^4$, 计算其外微分

$$\mathrm d\omega_3=\left(\frac{\partial H}{\partial x}+\frac{\partial I}{\partial y}+\frac{\partial J}{\partial z}+\frac{\partial K}{\partial w}\right)\cdot \mathrm d\mathcal V$$

其中 $\mathrm d\mathcal V=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz\wedge\mathrm dw$. 定义 $\boldsymbol F$ 的散度

$$\nabla \cdot \boldsymbol F=\frac{\partial H}{\partial x}+\frac{\partial I}{\partial y}+\frac{\partial J}{\partial z}+\frac{\partial K}{\partial w}$$

此时散度与三阶外微分有关系

$$\mathrm d\omega_3=\nabla \cdot \boldsymbol F\mathrm d\mathcal V$$

然后有 $\mathbb R^4$ 内 3-闭流形的 Stokes 公式

$$\oiiint \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol V=\iint\!\!\!\! \iint_{\mathcal S} \nabla\cdot\boldsymbol F\mathrm d\mathcal V$$

最后还要强调的是: 这里所说的 Stokes 公式是微积分的顶峰. 从理论上讲, 这是微积分的终点, 也是微积分从古典走向现代的入口处. 在现代数学中, 这条定理也许是用得最多的定理之一. 在数学上, 这是一条少有的简洁、美丽而深刻的定理.

$$\oint_{\partial D}\omega=\iint_D\mathrm d\omega$$

参考文献

[1] 龚昇. 简明微积分. 第四版[M]. 北京:高等教育出版社, 2006.

[2] 耿堤, 易法槐, 丁时进. 数学分析(三). 第二版[M]. 科学出版社, 2009.