跳到主要内容

流形上的积分和外微分形式

摘 要 本文首先介绍了低维空间内的两型曲线积分和曲面积分, 并解释了它们之间的关系. 然后介绍了场论三度, 再以其为工具介绍了低维流形积分的三大公式, 同时简述了场论三度的二阶运算. 随后引出外微分形式, 阐释了场论三度和三大公式的内在联系. 最后将外微分理论应用性地推广向四维, 列出了四维空间中联系各阶流形的四个度和三条公式.

1 低维流形上的积分

1.1 第一型流形积分 (标量场在曲线上的累积)

1.1.1 第一型曲线积分 (1-流形)

  设有一个定义在平面上的数量场 f(x,y):R2Rf(x,y):\mathbb R^2\to \mathbb R, 另有一由参数方程表示的曲线

L:x=x(t),y=y(t),t[α,β]L:x=x(t),y=y(t),t\in [\alpha,\beta]

则该曲线上累积的值(积分)为第一型曲线积分, 可以化为定积分

Lf(x,y)ds=αβf(x(t),y(t))dswhereds=(dxdt)2+(dydt)2dt\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\mathrm ds\quad\text{where}\quad \mathrm ds=\sqrt{\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2+\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right)^2}\cdot \mathrm dt

其中 ds\mathrm ds 是弧微分. 第一型曲线积分的物理意义是一曲线在质量场上累积的积分, 相应于离散情况的以下求和式:

lim(x,y)f(x,y)Δs\lim \sum _{(x,y)}f(x,y)\Delta s

1.1.2 第一型曲面积分 (2-流形)

  设空间内有一数量场 f(x,y,z):R3Rf(x,y,z):\mathbb R^3\to \mathbb R, 另有一由参数方程表示的曲面

Σ:x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)D\varSigma:x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)\in D

与上小节类比, 该曲面上累积的值为第一型曲面积分, 化为定积分

Σf(x,y,z)dA=Df(x,y,z)EGF2dudv\iint_\varSigma f(x,y,z)\mathrm dA=\iint_D f(x,y,z)\sqrt{EG-F^2}\mathrm du\mathrm dv

其中 dA\mathrm dA 是面积元素(即为面积的微元), 另

E=x,y,zxu2,F=x,y,zxuxv,G=x,y,zxv2E=\sum_{x,y,z}x_u^2,\quad F=\sum_{x,y,z}x_ux_v,\quad G=\sum_{x,y,z}x_v^2

  特殊地, 若曲面 Σ\varSigma 有显式方程 z=z(x,y)z=z(x,y), 则第一型曲面积分有便捷计算方式

Σf(x,y,z)dA=Df(x,y,z)1+zx2+zy2dxdy\iint_\varSigma f(x,y,z)\mathrm dA=\iint_D f(x,y,z)\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm dx\mathrm dy

1.2 第二型流形积分 (矢量场与曲线前向点乘的累积)

1.2.1 第二型曲线积分 (1-流形)

  考虑二维数量场 A(x,y),B(x,y)A(x,y),B(x,y) 和定向曲线 L+L^+. 第二型曲线积分亦可化为定积分

L+Adx+Bdy=αβ(Adxdt+Bdydt)dt\int_{L^+} A\mathrm dx+B\mathrm dy=\int_\alpha ^\beta\left(A\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+B\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right)\mathrm dt

第二型曲线积分的物理意义是力场对物体做功的总量. 相应于离散情况的以下求和式:

lim(x,y)f(x,y)Δr\lim \sum _{(x,y)}\boldsymbol f(x,y)\cdot \Delta \boldsymbol r

1.2.2 第二型曲面积分 (2-流形)

  考虑二维数量场 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 和定向曲面 Σ+\varSigma^+. 第二型曲线积分

Σ+Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=D(P(y,z)(u,v)+Q(z,x)(u,v)+R(x,y)(u,v))dudv\iint_{\varSigma^+} P\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dz\mathrm dx+R\mathrm dx\mathrm dy=\iint_D\left(P\left|\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right|+Q\left|\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right|+R\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\right)\mathrm du\mathrm dv

若积分曲面取 Σ\varSigma^-, 则积分值取相反数. 特殊地, 若曲面有显式方程 z=z(x,y)z=z(x,y)P=Q=0P=Q=0, 则第二型曲面积分有便捷计算方式:

Σ+Rdxdy=DxyRdxdy\iint_{\varSigma^+} R\mathrm dx\mathrm dy=\iint_{D_{xy}} R\mathrm dx\mathrm dy

其中 DxyD_{xy}Σ\varSigmaxOyxOy 的投影区域.

1.3 两型流形积分的关系

1.3.1 两型曲线积分的关系 (1-流形)

  第二型曲线积分可划归第一型曲线积分:

L+Pdx+Qdy=L(Pcosα+Qcosβ)ds\int _{L^+}P\mathrm dx+Q\mathrm dy=\int_L(P\cos \alpha+Q\cos \beta)\mathrm ds

其中 α(x,y),β(x,y)\alpha(x,y),\beta(x,y)(x,y)(x,y) 处切向量的方向余弦, 可通过 x(t),y(t)x(t),y(t) 表示:

cosα=xx2+y2,cosβ=yx2+y2\cos \alpha=\frac{x'}{\sqrt{{x'}^2+{y'}^2}},\quad \cos \beta=\frac{y'}{\sqrt{{x'}^2+{y'}^2}}

1.3.2 两型曲面积分的关系 (2-流形)

  第二型曲面积分可划归第一型曲面积分:

Σ+Pdx+Qdy+Rdz=L(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dA\int _{\varSigma^+}P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz=\int_L(P\cos \alpha+Q\cos \beta+R\cos \gamma)\mathrm dA

其中 α(x,y,z),β(x,y,z),γ(x,y,z)\alpha(x,y,z),\beta(x,y,z),\gamma(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 处法向量的方向余弦:

n=(xuyuzu)×(xvyvzv),(cosαcosβcosγ)=nn\boldsymbol n=\begin{pmatrix}x_u\\y_u\\z_u\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x_v\\y_v\\z_v\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}\cos\alpha\\\cos\beta\\\cos\gamma\end{pmatrix}=\frac{\boldsymbol n}{|\boldsymbol n|}

特殊地, 若曲面有显式方程 z=z(x,y)z=z(x,y), 则法向量的方向余弦有快捷计算方法:

cosα=zx1+zx2+zy2,cosβ=zy1+zx2+zy2,cosγ=11+zx2+zy2\cos \alpha=\frac{-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\quad\cos \beta=\frac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}},\quad\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}

2 场论三度与三大公式

2.1 Nabla 算子、梯度、散度、旋度

  定义三维 Nabla 算子 =(x,y,z)\nabla =\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right), 对于数量场 f:R3Rf:\mathbb R^3\to \mathbb R, 定义其梯度

f:=gradf:=(fx,fy,fz)\nabla f:=\mathop{\boldsymbol{\mathrm{grad}}}f:=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)

向量场 F=(P,Q,R):R3R3\boldsymbol F=(P,Q,R):\mathbb R^3\to \mathbb R^3, 定义其散度和旋度

{F:=divF:=Px+Qy+Rz×F:=rotF:=curlF:=(RyQz,PzRx,QxPy)=ijkxyzPQR\left\{\begin{aligned}&\nabla \cdot \boldsymbol F:=\mathop{\mathrm{div}} \boldsymbol F:=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\\ &\nabla \times \boldsymbol F:=\mathop{\boldsymbol{\mathrm{rot}}}\boldsymbol F:=\mathop{\boldsymbol{\mathrm{curl}}}\boldsymbol F:=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}\end{aligned}\right.

2.2 Green 公式, Gauss 公式, Stokes 公式

2.2.1 R2\mathbb R^2 内 1-闭流形的 Green 公式

  平面上闭曲线 D\partial D 的曲线积分与其内部 DD 的二重积分存在如下关系:

DPdx+Qdy=D(QxPy)dxdy=DxyPQdxdy\oint_{\partial D}P\mathrm dx+Q\mathrm dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy=\iint_D\begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q\end{vmatrix}\mathrm dx\mathrm dy

如果允许定义二维的 Nabla 算子 =(x,y)\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right), Gauss 公式就可以写作以下形式

DFdx=D×FdA\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\iint_D\nabla \times\boldsymbol F \mathrm dA

其中 F=(P,Q), dx=(dx,dy), dA=dxdy\boldsymbol F=(P,Q),\ \mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy),\ \mathrm dA=\mathrm dx\mathrm dy, 二维向量的叉乘 (a,b)×(c,d)=abcd(a,b)\times(c,d)=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}.

2.2.2 R3\mathbb R^3 内 2-闭流形的 Gauss 公式 (散度定理)

  空间内闭曲面 Σ\partial \varSigma 的曲面积分与其内部 Σ\varSigma 的三重积分存在如下关系:

ΣAdydz+Bdzdx+Cdxdy=Σ(Ax+By+Cz)dxdydz\oiint_{\partial \varSigma} A\mathrm dy\mathrm dz+B\mathrm dz\mathrm dx+C\mathrm dx\mathrm dy=\iiint_\varSigma \left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz

以上公式可以写成散度的形式:

ΣFdA=ΣFdV\oiint_{\partial \varSigma} \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A=\iiint_\varSigma \nabla\cdot\boldsymbol F\mathrm dV

其中 F=(A,B,C), dA=(dydz,dzdx,dxdy), dV=dxdydz\boldsymbol F=(A,B,C),\ \mathrm d\boldsymbol A=(\mathrm dy\mathrm dz,\mathrm dz\mathrm dx,\mathrm dx\mathrm dy),\ \mathrm dV=\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz.

2.2.3 R3\mathbb R^3 内 1-闭流形的 Stokes 公式 (旋度定理)

  空间内闭曲线 D\partial D 的曲线积分与其内部 DD 的曲面积分存在如下关系:

DPdx+Qdy+Rdz=D(RyQz)dydz+(PzRx)dzdx+(QxPy)dxdy=DdydzdzdxdxdyxyzPQR\begin{aligned}\oint_{\partial D}P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz&=\iint_D \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm dy\mathrm dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm dz\mathrm dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy\\&=\iint_D\begin{vmatrix}\mathrm dy\mathrm dz&\mathrm dz\mathrm dx&\mathrm dx\mathrm dy\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}\end{aligned}

以上公式可以写成旋度的形式:

DFdx=D×FdA\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\iint_D\nabla \times\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A

其中 F=(P,Q,R), dx=(dx,dy,dz), dA=(dydz,dzdx,dxdy)\boldsymbol F=(P,Q,R),\ \mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz),\ \mathrm d\boldsymbol A=(\mathrm dy\mathrm dz,\mathrm dz\mathrm dx,\mathrm dx\mathrm dy).

2.3 场论三度的二阶运算

  梯度 f\nabla f 将数量场映射到向量场, 散度 F\nabla \cdot \boldsymbol F 将向量场映射到数量场, 旋度 ×F\nabla \times \boldsymbol F 将向量场映射到向量场. 故考虑梯度的散度 f\nabla \cdot \nabla f、梯度的旋度 ×f\nabla \times \nabla f, 散度的梯度 (F)\nabla (\nabla \cdot \boldsymbol F)、旋度的散度 (×F)\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol F) 和旋度的旋度 ×(×F)\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol F) 是有意义的.

2.3.1 梯度的散度: Laplace 算子

  直接计算得出

f=(fx)2+(fy)2+(fz)2=:2f\nabla\cdot\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^2=:\nabla^2 f

以上定义了 2:=\nabla^2:=\nabla\cdot\nabla 是 Laplace 算子.

2.3.2 梯度的旋度、旋度的散度: 恒为零

  直接计算可得

×f0(×F)0\nabla \times \nabla f\equiv \boldsymbol 0\qquad \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol F)\equiv 0

2.3.3 散度的梯度、旋度的旋度

  考虑散度的梯度

(F)=(Fx,Fy,Fz)\nabla (\nabla \cdot \boldsymbol F)=\left(\frac{\partial \nabla \cdot \boldsymbol F}{\partial x},\frac{\partial \nabla \cdot \boldsymbol F}{\partial y},\frac{\partial \nabla \cdot \boldsymbol F}{\partial z}\right)

关于旋度的旋度, 在形式上考虑二重向量积展开, 有

×(×F)=(F)2F\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol F)=\nabla (\nabla \cdot \boldsymbol F)-\nabla ^2\boldsymbol F

其中 2F=(2P,2Q,2R)T\nabla ^2 \boldsymbol F=(\nabla^2P,\nabla^2Q,\nabla^2R)^{\mathrm T} 是向量 Laplace 算子.

3 外微分形式

  在前面的几节中, 出现了线积分、面积分与体积分等, 与之同时出现的是一些微分形式.

一次微分形式Pdx+Qdy+Rdz\int P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz

二次微分形式Adydz+Bdzdx+Cdxdy\iint A\mathrm dy\mathrm dz+B\mathrm dz\mathrm dx+C\mathrm dx\mathrm dy

三次微分形式Hdxdydz\iiint H\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz

在我们所讨论的三度空间中, 能出现的微分形式就是这三种, 在加上零次微分形式即函数 ff.

  此外, 我们还有了联系这些线、面、体积分的三个基本公式, 即

Green 公式DPdx+Qdy=D(QxPy)dxdy\oint_{\partial D}P\mathrm dx+Q\mathrm dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy

Gauss 公式ΣPdx+Qdy+Rdz=Σ(Px+Qy+Rz)dxdydz\oiint_{\partial \varSigma}P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz=\iiint_\varSigma \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz

Stokes 公式DPdx+Qdy+Rdz=D(RyQz)dydz+(PzRx)dzdx+(QxPy)dxdy\oint_{\partial D}P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz=\iint_D \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm dy\mathrm dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm dz\mathrm dx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy

这表面上看来很不相像的上述三个公式, 它们之间有没有什么联系? 它们的本质是什么? 能不能用统一的公式将它们概括起来, 以至使之能在更高维的空间中也有这样的公式?

  此外, 我们还介绍了场论的三个"度", 即梯度, 旋度与散度.

梯 度f=(fx,fy,fz)\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)

散 度F=Px+Qy+Rz\nabla \cdot \boldsymbol F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}

旋 度×F=(RyQz,PzRx,QxPy)\nabla \times \boldsymbol F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)

这三个"度"的物理意义是十分重要的, 已在前面作了阐述. 从数学上来看, 这三个"度"是怎样产生的, 它的意义如何? 还有没有其他的"度"?

  所有这些, 都必须在引入外微分形式之后才能清楚.

3.1 R3\mathbb R^3 下的外微分形式

  前述线面积分考虑了积分流形的“正反面”问题, 现将流形的“正反面”推广到普通二重积分 (即 R2\mathbb R^2 中 2-流形上的积分). 既然普通定积分的积分区域有从小到大和从大到小两种积分方向, 那么普通二重积分的积分区域也应该有正面和反面两种积分方向, 且它们的积分值应该差一个负号.

  现将这种“正反面”的差异体现在面积元素 dA\mathrm dA 上. 定义面积元素为两个微分单位的楔积, 并且楔积运算具有反交换律. 即

dA:=dxdy=dydx\mathrm dA:=\mathrm dx\wedge \mathrm dy=-\mathrm dy\wedge \mathrm dx

  定义 R3\mathbb R^3 下的四种外微分形式

零次外微分形式ω0=f\omega_0=f 即函数本身.

一次外微分形式ω1=Pdx+Qdy+Rdz\omega_1=P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz 与一次微分形式相当.

二次外微分形式ω2=Adydz+Bdzdx+Cdxdy\omega_2=A\mathrm dy\wedge \mathrm dz+B\mathrm dz\wedge \mathrm dx+C\mathrm dx\wedge \mathrm dy

三次外微分形式ω3=Hdxdydz\omega_3=H\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz

3.1.1 R3\mathbb R^3 下的零阶外微分、梯度

  考虑 R3\mathbb R^3 下各阶外微分形式的外微分. 对于零次外微分形式 ω0=f(x,y,z)\omega_0=f(x,y,z), 其外微分即全微分

dω0=df=fxdx+fydy+fzdz\mathrm d\omega_0=\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm dy+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm dz

然后发现零次外微分形式与梯度有对应关系

dω0=fdx,dx=(dx,dy,dz)\mathrm d\omega_0=\nabla f\cdot \mathrm d\boldsymbol x,\quad \mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz)

3.1.2 R3\mathbb R^3 下的一阶外微分、旋度、Stokes 公式

  对于一次外微分形式 ω1=Fdx=Pdx+Qdy+Rdz\omega_1=\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=P\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz, 定义

dω1=dPdx+dQdy+dRdz\mathrm d\omega_1=\mathrm dP\wedge \mathrm dx+\mathrm dQ\wedge \mathrm dy+\mathrm dR\wedge \mathrm dz

其中 P,Q,RP,Q,R 又是零次外微分形式, 即 dK=Kxdx+Kydy+Kzdz, K{P,Q,R}\mathrm dK=\frac{\partial K}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial K}{\partial y}\mathrm dy+\frac{\partial K}{\partial z}\mathrm dz,\ K\in\{P,Q,R\}. 直接计算可得

dω1=Pxdxdx+Pydydx+Pzdzdx+Qxdxdy+Qydydy+Qzdzdy+Rxdxdz+Rydydz+Rzdzdz=(RyQz)dydz+(PzRx)dzdx+(QxPy)dxdy\begin{aligned}\mathrm d\omega_1&=\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm dx\wedge\mathrm dx+\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm dy\wedge\mathrm dx+\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm dz\wedge\mathrm dx\\&+\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm dx\wedge\mathrm dy+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm dy\wedge\mathrm dy+\frac{\partial Q}{\partial z}\mathrm dz\wedge\mathrm dy\\&+\frac{\partial R}{\partial x}\mathrm dx\wedge\mathrm dz+\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm dy\wedge\mathrm dz+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm dz\wedge\mathrm dz\\&=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm dy\wedge\mathrm dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm dz\wedge\mathrm dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx\wedge\mathrm dy\end{aligned}

发现一次外微分形式与旋度有对应关系

dω1=×FdA,dA=(dydz,dzdx,dxdy)\mathrm d\omega_1=\nabla\times\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A,\quad \mathrm d\boldsymbol A=(\mathrm dy\wedge\mathrm dz,\mathrm dz\wedge\mathrm dx,\mathrm dx\wedge\mathrm dy)

回顾 Stokes 公式, 发现可以写成外微分的形式

DFdx=D×FdA    Dω1=Ddω1\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\iint_D\nabla \times\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A\iff \oint_{\partial D}\omega_1=\iint_D\mathrm d\omega_1

3.1.3 R3\mathbb R^3 下的二阶外微分、散度、Gauss 公式

  对于二次外微分形式 ω2=FdA=Adydz+Bdzdx+Cdxdy\omega_2=\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A=A\mathrm dy\wedge \mathrm dz+B\mathrm dz\wedge \mathrm dx+C\mathrm dx\wedge \mathrm dy, 类似地定义

dω2=dAdydz+dBdzdx+dCdxdy=(Ax+By+Cz)dxdydz\begin{aligned}\mathrm d\omega_2&=\mathrm dA\wedge\mathrm dy\wedge \mathrm dz+\mathrm dB\wedge\mathrm dz\wedge \mathrm dx+\mathrm dC\wedge\mathrm dx\wedge \mathrm dy\\&=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right)\mathrm dx\wedge \mathrm dy\wedge \mathrm dz\end{aligned}

发现二次外微分形式与散度有对应关系

dω2=FdV,dV=dxdydz\mathrm d\omega_2=\nabla\cdot\boldsymbol F\mathrm dV,\quad \mathrm dV=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz

回顾 Gauss 公式, 发现可以写成外微分的形式

ΣFdA=ΣFdV    Σω2=Σdω2\iiint_{\partial \varSigma} \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A=\iiint_\varSigma \nabla\cdot\boldsymbol F\mathrm dV\iff \oiint_{\partial \varSigma}\omega_2=\iiint_\varSigma \mathrm d\omega_2

对于 R3\mathrm R^3 下的三阶外微分, 容易验证它恒等于零.

3.1.4 R2\mathbb R^2 下的一阶外微分、Green 公式

  考虑 R2\mathbb R^2 下的一阶外微分形式 ω=Fdx=Pdx+Qdy\omega=\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=P\mathrm dx+Q\mathrm dy 及其外微分

dω=dPdx+dQdy=(x,y)dA\mathrm d\omega=\mathrm dP\wedge \mathrm dx+\mathrm dQ\wedge \mathrm dy=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right)\mathrm dA

其中 dA=dxdy\mathrm dA=\mathrm dx\wedge\mathrm dy. 故 Green 公式可以写成

DFdx=D×FdA    Dω=Ddω\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\iint_D\nabla \times\boldsymbol F \mathrm dA\iff \oint_{\partial D}\omega=\iint_D\mathrm d\omega

在不写出积分重数的情况下, 上述右侧的公式

Dω=Ddω\oint_{\partial D}\omega=\iint_D\mathrm d\omega

同时也是三大公式的统一形式, 并且可以推广到高维空间, 称之为广义 Stokes 定理.

3.2 推广: R4\mathbb R^4 下的外微分形式

3.2.1 R4\mathbb R^4 下的零阶外微分、梯度

  首先是零次外微分形式即 ω0=f(x,y,z,w):R4R\omega_0=f(x,y,z,w):\mathbb R^4\to \mathbb R, 其外微分形式与低维空间相同:

dω0=fxdx+fydy+fzdz+fwdw\mathrm d\omega_0=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm dy+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm dz+\frac{\partial f}{\partial w}\mathrm dw

与低维情况类似, 定义四维 Nabla 算子

=(x,y,z,w)\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial}{\partial w}\right)

可以定义四元函数的梯度为 f\nabla f, 零次外微分与梯度有对应关系

dω0=fdx,dx=(dx,dy,dz,dw)\mathrm d\omega_0=\nabla f\cdot \mathrm d\boldsymbol x,\quad \mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz,\mathrm dw)

3.2.2 R4\mathbb R^4 下的一阶外微分、一阶旋度、一阶 Stokes 公式

  考虑一次外微分形式 ω1=F=(P,Q,R,S):R4R4\omega_1=\boldsymbol F=(P,Q,R,S):\mathbb R^4\to \mathbb R^4, 计算其外微分

dω1=(xyPQ,xzPR,xwPS,yzQR,ywQS,zwRS)dA\mathrm d\omega_1=\left( \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&R\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial w}\\P&S\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\Q&R\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial w}\\Q&S\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}\frac{\partial}{\partial z}&\frac{\partial}{\partial w}\\R&S\end{vmatrix} \right)\cdot \mathrm d\boldsymbol A

其中 dA=(dxdy,dxdz,dxdw,dydz,dydw,dzdw)\mathrm d\boldsymbol A=(\mathrm dx\wedge\mathrm dy,\mathrm dx\wedge\mathrm dz,\mathrm dx\wedge\mathrm dw,\mathrm dy\wedge\mathrm dz,\mathrm dy\wedge\mathrm dw,\mathrm dz\wedge\mathrm dw). 定义上式中间的 6 维向量为 F\boldsymbol F 的一阶旋度 F\nabla \diamond \boldsymbol F, 此时一阶旋度与一阶外微分有关系式

dω1=FdA\mathrm d\omega_1=\nabla \diamond \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A

然后有 R4\mathbb R^4 内 1-闭流形的 Stokes 公式

DFdx=FdA\oint_{\partial D}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol x=\nabla \diamond \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol A

其中 dx=(dx,dy,dz,dw)\mathrm d\boldsymbol x=(\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz,\mathrm dw).

3.2.3 R4\mathbb R^4 下的二阶外微分、二阶旋度、二阶 Stokes 公式

  考虑二次外微分形式 ω2=F=(A,B,C,D,E,F):R4R6\omega_2=\boldsymbol{\mathcal F}=(A,B,C,D,E,F):\mathbb R^4\to \mathbb R^6, 计算其外微分

dω2=(FyEz+Dw,FxCz+Bw,ExCy+Aw,DxBy+Az)dV\mathrm d\omega_2=\left( \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial E}{\partial z}+\frac{\partial D}{\partial w}, \frac{\partial F}{\partial x}-\frac{\partial C}{\partial z}+\frac{\partial B}{\partial w}, \frac{\partial E}{\partial x}-\frac{\partial C}{\partial y}+\frac{\partial A}{\partial w}, \frac{\partial D}{\partial x}-\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial A}{\partial z}\right)\cdot \mathrm d\boldsymbol V

其中 dV=(dydzdw,dzdwdx,dwdxdy,dxdydz)\mathrm d\boldsymbol V=(\mathrm dy\wedge\mathrm dz\wedge\mathrm dw,\mathrm dz\wedge\mathrm dw\wedge\mathrm dx,\mathrm dw\wedge\mathrm dx\wedge\mathrm dy,\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz). 记上式中 4 维向量为函数 F\boldsymbol{\mathcal F} 的二阶旋度 F\nabla \circ \boldsymbol{\mathcal F}, 其与二阶外微分有关系式

dω2=FdV\mathrm d\omega_2=\nabla \circ \boldsymbol{\mathcal F}\cdot \mathrm d\boldsymbol V

然后有 R4\mathbb R^4 内 2-闭流形的 Stokes 公式

ΣFdA=ΣFdV\oiint_{\partial \varSigma}\boldsymbol{\mathcal F}\cdot \mathrm d\boldsymbol A=\iiint_\varSigma \nabla\circ\boldsymbol{\mathcal F}\cdot \mathrm dV

3.2.4 R4\mathbb R^4 下的三阶外微分、散度、三阶 Stokes 公式

  考虑三次外微分形式 ω3=F=(H,I,J,K):R4R4\omega_3=\boldsymbol F=(H,I,J,K):\mathbb R^4\to \mathbb R^4, 计算其外微分

dω3=(Hx+Iy+Jz+Kw)dV\mathrm d\omega_3=\left(\frac{\partial H}{\partial x}+\frac{\partial I}{\partial y}+\frac{\partial J}{\partial z}+\frac{\partial K}{\partial w}\right)\cdot \mathrm d\mathcal V

其中 dV=dxdydzdw\mathrm d\mathcal V=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz\wedge\mathrm dw. 定义 F\boldsymbol F 的散度

F=Hx+Iy+Jz+Kw\nabla \cdot \boldsymbol F=\frac{\partial H}{\partial x}+\frac{\partial I}{\partial y}+\frac{\partial J}{\partial z}+\frac{\partial K}{\partial w}

此时散度与三阶外微分有关系

dω3=FdV\mathrm d\omega_3=\nabla \cdot \boldsymbol F\mathrm d\mathcal V

然后有 R4\mathbb R^4 内 3-闭流形的 Stokes 公式

FdV= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣SFdV\oiiint \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol V=\iint\!\!\!\! \iint_{\mathcal S} \nabla\cdot\boldsymbol F\mathrm d\mathcal V

最后还要强调的是: 这里所说的 Stokes 公式是微积分的顶峰. 从理论上讲, 这是微积分的终点, 也是微积分从古典走向现代的入口处. 在现代数学中, 这条定理也许是用得最多的定理之一. 在数学上, 这是一条少有的简洁、美丽而深刻的定理.

Dω=Ddω\oint_{\partial D}\omega=\iint_D\mathrm d\omega

参考文献

[1] 龚昇. 简明微积分. 第四版[M]. 北京:高等教育出版社, 2006.

[2] 耿堤, 易法槐, 丁时进. 数学分析(三). 第二版[M]. 科学出版社, 2009.